DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int \frac{x^{2}}{x^{6}+2 x^{3}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma primitiva por mudança de variável e verificar derivando a integral
\int \frac{x^{2}}{x^{6}+2x^{3}+2}\,dx.
Informações que temos (diretamente do enunciado):
  • A função a integrar é a razão \dfrac{x^{2}}{x^{6}+2x^{3}+2}.
  • Quer-se usar mudança de variável (substituição) para encontrar uma primitiva e depois conferir derivando essa primitiva.

Passo 2

Procurando uma substituição conveniente: observar o denominador \,x^{6}+2x^{3}+2\, — ele é um polinômio em x^{3}. Além disso o numerador contém x^{2}\,dx. Isso sugere usar
u = x^{3}.
Justificativa didática: quando uma expressão no denominador é função de x^{3} e aparece x^{2}\,dx no numerador, a derivada de x^{3} é 3x^{2}, então a substituição vai transformar x^{2}\,dx em algo proporcional a du, simplificando a integral.

Passo 3

Calcular du e substituir:
du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{x^{6}+2x^{3}+2}\,dx = \int \frac{1}{x^{6}+2x^{3}+2}\,x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u^{2}+2u+2}\,du.

Passo 4

Simplificar o integrando em u completando o quadrado no denominador:
u^{2}+2u+2 = (u+1)^{2}+1.
Explicando a técnica: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático u^{2}+2u+2 numa soma de um quadrado (u+1)^{2} mais uma constante, tornando óbvia a aplicação da fórmula da integral da função arco-tangente.

Passo 5

Usar a primitiva conhecida
\int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \arctan(t)+C.
Com t = u+1 obtemos
\frac{1}{3}\int \frac{1}{(u+1)^{2}+1}\,du = \frac{1}{3}\arctan(u+1)+C.
Voltando à variável x (lembre que u=x^{3}):
\text{primitiva} = \frac{1}{3}\arctan(x^{3}+1)+C.

Passo 6

Verificação derivando a primitiva (regra da cadeia). Calcular
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\arctan(x^{3}+1)\right).
Aplicando a regra da cadeia e a derivada de \arctan:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\arctan(x^{3}+1)\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+(x^{3}+1)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(x^{3}+1).
Como \dfrac{d}{dx}(x^{3}+1)=3x^{2}, segue
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+(x^{3}+1)^{2}}\cdot 3x^{2} = \frac{x^{2}}{1+(x^{3}+1)^{2}}.
E observando que
1+(x^{3}+1)^{2}=1+x^{6}+2x^{3}+1 = x^{6}+2x^{3}+2,
concluímos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\arctan(x^{3}+1)\right) = \frac{x^{2}}{x^{6}+2x^{3}+2},
ou seja, a derivada da primitiva é exatamente a função integranda — verificação concluída.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\arctan(x^{3}+1)+C

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