DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma primitiva por mudança de variável e verificar derivando a integral
Informações que temos (diretamente do enunciado):
- A função a integrar é a razão
. - Quer-se usar mudança de variável (substituição) para encontrar uma primitiva e depois conferir derivando essa primitiva.
Passo 2
Procurando uma substituição conveniente: observar o denominador
— ele é um polinômio em
. Além disso o numerador contém
. Isso sugere usar
Justificativa didática: quando uma expressão no denominador é função de
e aparece
no numerador, a derivada de
é
, então a substituição vai transformar
em algo proporcional a
, simplificando a integral.
Passo 3
Calcular
e substituir:
Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificar o integrando em
completando o quadrado no denominador:
Explicando a técnica: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático
numa soma de um quadrado
mais uma constante, tornando óbvia a aplicação da fórmula da integral da função arco-tangente.
Passo 5
Usar a primitiva conhecida
Com
obtemos
Voltando à variável
(lembre que
):
Passo 6
Verificação derivando a primitiva (regra da cadeia). Calcular
Aplicando a regra da cadeia e a derivada de
:
Como
, segue
E observando que
concluímos
ou seja, a derivada da primitiva é exatamente a função integranda — verificação concluída.