Determine a probabilidade de que a força eletrostática resultante sobre a carga de prova \boldsymbol{+ q}_{\mathbf{0}} no centro \mathbf{O} seja nula.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há um hexágono regular com seis vértices numerados P_0,P_1,\dots,P_5 ao redor do centro \mathrm{O}.
  • Em cada vértice é colocada uma carga igual em módulo, que pode ser +q ou -q. Precisamente três vértices recebem +q e os outros três recebem -q, sorteados ao acaso entre as \binom{6}{3} possibilidades.
  • No centro \mathrm{O} está uma carga de prova positiva +q_0.
  • A pergunta: determinar a probabilidade de que a força eletrostática resultante sobre +q_0 em \mathrm{O} seja nula.

Passo 2

Entender o que significa “força resultante nula” neste problema.
  • Pela Lei de Coulomb, a força (módulo) exercida por uma carga \pm q em um vértice sobre a carga central +q_0 é a mesma para todos os vértices (distância igual ao centro). Em magnitude:
F_0 = k\frac{q_0\,q}{r^2},
onde r é a distância do centro a qualquer vértice (constante).
  • A direção da força de cada vértice é radial: se o vértice tem +q a força no centro é de repulsão (direção radial para fora daquele vértice); se o vértice tem -q a força no centro é de atração (direção radial para o vértice).
  • Como todas as magnitudes são iguais, a condição de força resultante nula é puramente vetorial: a soma vetorial das direções, com sinais determinados pelos sinais das cargas dos vértices, deve ser o vetor nulo.

Passo 3

Modelagem matemática vetorial e variáveis.
  • Seja u_k o vetor unitário que parte do centro \mathrm{O} na direção do vértice P_k ( k=0,\dots,5); esses vetores estão igualmente espaçados de 60^\circ.
  • Defina c_k=+1 se o vértice P_k tem carga +q e c_k=-1 se tem carga -q.
  • A contribuição vetorial (direção) da carga em P_k sobre a carga central é proporcional a -c_k u_k (porque c_k=+1 dá repulsão, direção oposta a u_k; c_k=-1 dá atração, direção +u_k).
  • Portanto a condição de força resultante nula é
\sum_{k=0}^{5} -c_k u_k = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{5} c_k u_k = 0.
  • Observação útil: como há exatamente três +q e três -q, vale
\sum_{k=0}^{5} c_k = 0.

Passo 4

Representação pelo plano complexo (argumento geométrico).
  • Coloque o hexágono no plano complexo: seja z=e^{i\pi/3} (raiz sexta da unidade) e associe u_k com z^k (vetor unitário na direção do vértice P_k).
  • A condição vetorial \sum c_k u_k = 0 é equivalente, no plano complexo, a
\sum_{k=0}^{5} c_k z^k = 0.
  • Separe os índices em S_+ (vértices com +q) e S_- (vértices com -q). Então
\sum_{k\in S_+} z^k - \sum_{k\in S_-} z^k = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k\in S_+} z^k = \sum_{k\in S_-} z^k.

Passo 5

Usar a soma total das raízes para simplificar.
  • A soma de todas as seis raízes de unidade é zero:
\sum_{k=0}^{5} z^k = 0.
  • Como S_- é o complemento de S_+, tem-se \sum_{k\in S_-} z^k = -\sum_{k\in S_+} z^k.
  • A igualdade \sum_{k\in S_+} z^k = \sum_{k\in S_-} z^k então implica
\sum_{k\in S_+} z^k = -\sum_{k\in S_+} z^k \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\in S_+} z^k = 0.
  • Portanto a condição necessária e suficiente para força nula é que o somatório vetorial das posições dos vértices que têm +q seja zero.

Passo 6

Classificar os subconjuntos de três vértices cuja soma vetorial é zero.
  • Procuramos subconjuntos de três termos da forma z^{a}+z^{b}+z^{c}=0 com 0\le a<b<c\le5.
  • Dividindo por z^{a} obtém-se 1+z^{b-a}+z^{c-a}=0. Para as 6ªs raízes, a única maneira de três raízes unitárias somarem zero é quando estão igualmente espaçadas por 120^\circ, isto é, quando os índices diferem por 2 (módulo 6).
  • Logo as únicas triplas de vértices que têm soma vetorial nula são as que ocupam todos os vértices pares \{0,2,4\} ou todos os vértices ímpares \{1,3,5\} — isto é, os dois triângulos equiláteros alternados do hexágono.

Passo 7

Contagem das configurações favoráveis e probabilidade.
  • O espaço amostral (todos os sorteios possíveis de quais 3 vértices recebem +q) tem tamanho
\binom{6}{3}=20.
  • Das triagens que dão soma vetorial zero, só existem exatamente duas: S_+ = \{0,2,4\} e S_+ = \{1,3,5\}.
  • Portanto o número de casos favoráveis é 2 e a probabilidade pedida é
\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.

Passo 8

Comentário final e intuição.
  • Intuitivamente: para que as direções se cancelem perfeitamente é preciso um arranjo com máxima simetria — colocar as três cargas +q nos vértices que formam um triângulo equilátero central (os vértices alternados). Há exatamente duas formas (os dois triângulos alternados), de um total de vinte possibilidades aleatórias.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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