Determine a probabilidade de que a força eletrostática resultante sobre a carga de prova
no centro
seja nula.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Há um hexágono regular com seis vértices numerados
ao redor do centro . - Em cada vértice é colocada uma carga igual em módulo, que pode ser
ou . Precisamente três vértices recebem e os outros três recebem , sorteados ao acaso entre as possibilidades. - No centro
está uma carga de prova positiva . - A pergunta: determinar a probabilidade de que a força eletrostática resultante sobre
em seja nula.
Passo 2
Entender o que significa “força resultante nula” neste problema.
- Pela Lei de Coulomb, a força (módulo) exercida por uma carga
em um vértice sobre a carga central é a mesma para todos os vértices (distância igual ao centro). Em magnitude:
onde
é a distância do centro a qualquer vértice (constante).
- A direção da força de cada vértice é radial: se o vértice tem
a força no centro é de repulsão (direção radial para fora daquele vértice); se o vértice tem a força no centro é de atração (direção radial para o vértice). - Como todas as magnitudes são iguais, a condição de força resultante nula é puramente vetorial: a soma vetorial das direções, com sinais determinados pelos sinais das cargas dos vértices, deve ser o vetor nulo.
Passo 3
Modelagem matemática vetorial e variáveis.
- Seja
o vetor unitário que parte do centro na direção do vértice ( ); esses vetores estão igualmente espaçados de . - Defina
se o vértice tem carga e se tem carga . - A contribuição vetorial (direção) da carga em
sobre a carga central é proporcional a (porque dá repulsão, direção oposta a ; dá atração, direção ). - Portanto a condição de força resultante nula é
- Observação útil: como há exatamente três
e três , vale
Passo 4
Representação pelo plano complexo (argumento geométrico).
- Coloque o hexágono no plano complexo: seja
(raiz sexta da unidade) e associe com (vetor unitário na direção do vértice ). - A condição vetorial
é equivalente, no plano complexo, a
- Separe os índices em
(vértices com ) e (vértices com ). Então
Passo 5
Usar a soma total das raízes para simplificar.
- A soma de todas as seis raízes de unidade é zero:
- Como
é o complemento de , tem-se . - A igualdade
então implica
- Portanto a condição necessária e suficiente para força nula é que o somatório vetorial das posições dos vértices que têm
seja zero.
Passo 6
Classificar os subconjuntos de três vértices cuja soma vetorial é zero.
- Procuramos subconjuntos de três termos da forma
com . - Dividindo por
obtém-se . Para as 6ªs raízes, a única maneira de três raízes unitárias somarem zero é quando estão igualmente espaçadas por , isto é, quando os índices diferem por (módulo ). - Logo as únicas triplas de vértices que têm soma vetorial nula são as que ocupam todos os vértices pares
ou todos os vértices ímpares — isto é, os dois triângulos equiláteros alternados do hexágono.
Passo 7
Contagem das configurações favoráveis e probabilidade.
- O espaço amostral (todos os sorteios possíveis de quais 3 vértices recebem
) tem tamanho
- Das triagens que dão soma vetorial zero, só existem exatamente duas:
e . - Portanto o número de casos favoráveis é
e a probabilidade pedida é
Passo 8
Comentário final e intuição.
- Intuitivamente: para que as direções se cancelem perfeitamente é preciso um arranjo com máxima simetria — colocar as três cargas
nos vértices que formam um triângulo equilátero central (os vértices alternados). Há exatamente duas formas (os dois triângulos alternados), de um total de vinte possibilidades aleatórias.