Uma bola após ter sido chutada alcançou o chão em uma distância de 30 metros de alcance em 5 segundos. Encontre:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • Alcance horizontal (distância percorrida até atingir o chão): \;R=30\\ \text{m}.
    • Tempo total de voo (tempo até a bola tocar o chão): \;T=5\\ \text{s}.
    • Assume-se, pela figura, que a bola é lançada e atinge o chão no mesmo nível vertical inicial (mesma altura de lançamento).
    • Usarei a aceleração da gravidade padrão \;g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
  • Perguntas:
    • (a) Qual é a velocidade inicial \;v_0?
    • (b) Qual é a inclinação do chute \;\theta (ângulo com a horizontal)?

Passo 2

Ideia física e decomposição da velocidade (aulas rápidas passo a passo).
  • A velocidade inicial \;v_0 é um vetor que pode ser decomposto em componentes horizontal e vertical: v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.Aqui \;v_{0x} é a componente horizontal (direção sem aceleração) e \;v_{0y} é a componente vertical (sofre aceleração -g).
  • Movimento horizontal: sem aceleração (desprezando arrasto), a posição horizontal cresce linearmente com o tempo: x(t)=v_{0x}\,t.
  • Movimento vertical: com aceleração constante -g, a equação vertical é y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2.Como a bola retorna ao mesmo nível inicial, o tempo de voo T é a solução não nula de y(T)=0, o que leva à relação T=\frac{2\,v_{0y}}{g}.Esta última fórmula é muito útil: ela vem de fatorar y(t)=t\big(v_{0y}-\tfrac{1}{2}g t\big)=0.

Passo 3

Usar a equação horizontal para achar \;v_{0x}.
  • A distância horizontal total (alcance) é R = v_{0x}\,T = v_0\cos\theta\;T.
  • Dos números dados: v_{0x}=\frac{R}{T}=\frac{30}{5}=6\\ \text{m/s}.Então a componente horizontal inicial vale \;v_{0x}=6\\ \text{m/s}.

Passo 4

Usar a equação vertical para achar \;v_{0y}.
  • Da relação do tempo de voo: T=\frac{2\,v_{0y}}{g}\quad\Longrightarrow\quad v_{0y}=\frac{g\,T}{2}.
  • Substituindo \;g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 e \;T=5\\ \text{s}: v_{0y}=\frac{9{,}8\cdot 5}{2}=\frac{49}{2}=24{,}5\\ \text{m/s}.Portanto a componente vertical inicial vale \;v_{0y}=24{,}5\\ \text{m/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade inicial \;v_0 a partir das componentes.
  • A relação entre magnitude e componentes é o teorema de Pitágoras: v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}.
  • Substituindo os valores: v_0=\sqrt{6^2 + 24{,}5^2}=\sqrt{36 + 600{,}25}=\sqrt{636{,}25}=25{,}229\ldots\\ \text{m/s}.
  • Arredondando razoavelmente para duas casas significativas relevantes: v_0\approx 25{,}2\\ \text{m/s}.

Passo 6

Calcular o ângulo \;\theta.
  • Usando a razão entre as componentes: \tan\theta=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\frac{24{,}5}{6}=4{,}08333\ldots
  • Logo \theta=\arctan\!\big(4{,}08333\ldots\big)\approx 76{,}1^\circ.(Cálculo feito com uma tabela/funcão arctan; interpretado em graus.)

Passo 7

Breve verificação (auto-checagem rápida).
  • A componente horizontal encontrada é \;v_{0x}=v_0\cos\theta\approx 25{,}2\cos(76{,}1^\circ)\approx 6\\ \text{m/s}, e multiplicada por T=5\\ \text{s} 6\cdot5=30\\ \text{m}, que é o alcance dado — consistente.

Resposta

v_0 \approx 25{,}2\\ \text{m/s}
\theta \approx 76{,}1^\circ

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