Um carro que parte do repouso varia sua velocidade no tempo de acordo com a equação
.
a. Qual a sua velocidade após passarem 3s? 1pt
b. Qual a sua aceleração neste mesmo instante (
) ? 2pts
c. Qual a sua posição após passarem 3s? 3pts
a. Qual a sua velocidade após passarem 3s? 1pt
b. Qual a sua aceleração neste mesmo instante (
c. Qual a sua posição após passarem 3s? 3pts
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (todas importantes para resolver o problema):
- A velocidade do carro é dada por
, onde está em segundos. - O carro parte do repouso, o que significa que
. - Não foi dada a posição inicial explicitamente; vou adotar a convenção usual em exercícios assim: a posição inicial é
(ou seja, tomou-se a origem como ponto de partida). Se a posição inicial fosse outra, o resultado para a posição aos s teria de incluir essa constante inicial.
O que o enunciado pede:
a. Calcular a velocidade no instante .
b. Calcular a aceleração no instante .
c. Calcular a posição (deslocamento a partir da origem) após .
a. Calcular a velocidade no instante
b. Calcular a aceleração no instante
c. Calcular a posição (deslocamento a partir da origem) após
Passo 2
Calcular a velocidade em
.
Explicação rápida do que estamos fazendo: aqui não precisamos derivar ou integrar — a função
já é dada. Para obter
num instante específico, basta substituir
pelo valor pedido.
Substituindo
em
:
Agora calculamos passo a passo:
Somando:
Portanto a velocidade aos
s é
(assumindo unidades do SI para velocidade).
Passo 3
Encontrar a aceleração em
.
Primeiro uma mini-aula: aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Matematicamente, a aceleração
é a derivada de
em relação a
:
Regra útil (regra do poder/polynomial): a derivada de
é
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes saem multiplicando.
Aplicando isso a
:
- Derivada de
é (porque derivada de é , multiplicada por ). - Derivada de
é .
Logo
Agora avaliamos em
:
A unidade é
, então a aceleração em
é
.
Passo 4
Calcular a posição após
.
Mini-aula: a posição
(ou deslocamento a partir de uma posição inicial) é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo. Se
, então
onde se usa uma letra diferente (aqui
) como variável de integração para evitar confusão. Regra de integração útil (antiderivada):
.
Aplicando ao nosso caso:
Calculamos cada integral:
Agora multiplicando pelos coeficientes:
Somando:
Portanto a posição (deslocamento a partir da origem) após
é
. Em fração isso é
.