Um carro que parte do repouso varia sua velocidade no tempo de acordo com a equação v(t)=3 t+4 t^{2}.
a. Qual a sua velocidade após passarem 3s? 1pt
b. Qual a sua aceleração neste mesmo instante ( \mathrm{t}=3 \mathrm{~s} ) ? 2pts
c. Qual a sua posição após passarem 3s? 3pts

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (todas importantes para resolver o problema):
  • A velocidade do carro é dada por \,v(t)=3\,t+4\,t^{2}\,, onde t está em segundos.
  • O carro parte do repouso, o que significa que \,v(0)=0.
  • Não foi dada a posição inicial explicitamente; vou adotar a convenção usual em exercícios assim: a posição inicial é \,x(0)=0 (ou seja, tomou-se a origem como ponto de partida). Se a posição inicial fosse outra, o resultado para a posição aos 3 s teria de incluir essa constante inicial.
O que o enunciado pede:
a. Calcular a velocidade no instante t=3\\ \text{s}.
b. Calcular a aceleração no instante t=3\\ \text{s}.
c. Calcular a posição (deslocamento a partir da origem) após 3\\ \text{s}.

Passo 2

Calcular a velocidade em t=3\\ \text{s}.
Explicação rápida do que estamos fazendo: aqui não precisamos derivar ou integrar — a função v(t) já é dada. Para obter v num instante específico, basta substituir t pelo valor pedido.
Substituindo t=3 em \,v(t)=3\,t+4\,t^{2}\,:
v(3)=3\cdot 3 + 4\cdot 3^{2}.
Agora calculamos passo a passo:
3\cdot 3 = 9,\qquad 3^{2}=9,\qquad 4\cdot 9 = 36.
Somando:
v(3)=9+36=45.
Portanto a velocidade aos 3 s é \,45\\ \text{m/s} (assumindo unidades do SI para velocidade).

Passo 3

Encontrar a aceleração em t=3\\ \text{s}.
Primeiro uma mini-aula: aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Matematicamente, a aceleração a(t) é a derivada de v(t) em relação a t:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Regra útil (regra do poder/polynomial): a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes saem multiplicando.
Aplicando isso a \,v(t)=3\,t+4\,t^{2}\,:
  • Derivada de 3\,t é 3 (porque derivada de t é 1, multiplicada por 3).
  • Derivada de 4\,t^{2} é 4\cdot 2\,t^{1}=8\,t.
Logo
a(t)=3+8\,t.
Agora avaliamos em t=3:
a(3)=3+8\cdot 3=3+24=27.
A unidade é \text{m/s}^{2}, então a aceleração em t=3\\ \text{s} é \,27\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 4

Calcular a posição após 3\\ \text{s}.
Mini-aula: a posição x(t) (ou deslocamento a partir de uma posição inicial) é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo. Se x(0)=0, então
x(t)=\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau,
onde se usa uma letra diferente (aqui \tau) como variável de integração para evitar confusão. Regra de integração útil (antiderivada): \int \tau^{n}\,d\tau=\dfrac{\tau^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando ao nosso caso:
x(3)=\int_{0}^{3} \bigl(3\,\tau+4\,\tau^{2}\bigr)\,d\tau =3\int_{0}^{3}\tau\,d\tau + 4\int_{0}^{3}\tau^{2}\,d\tau.
Calculamos cada integral:
\int_{0}^{3}\tau\,d\tau=\left[\frac{\tau^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{2}}{2}-0=\frac{9}{2}=4{,}5.
\int_{0}^{3}\tau^{2}\,d\tau=\left[\frac{\tau^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{3}}{3}-0=\frac{27}{3}=9.
Agora multiplicando pelos coeficientes:
3\cdot 4{,}5 = 13{,}5,\qquad 4\cdot 9 = 36.
Somando:
x(3)=13{,}5+36=49{,}5.
Portanto a posição (deslocamento a partir da origem) após 3\\ \text{s} é \,49{,}5\\ \text{m}. Em fração isso é \dfrac{99}{2}\\ \text{m}.

Resposta

v(3)=45\\ \text{m/s}
a(3)=27\\ \text{m/s}^{2}
x(3)=49{,}5\\ \text{m}

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