Determine se o processo estocástico \mathrm{X}(\mathrm{t})=\mathrm{A} \operatorname{sen}\left(2 \pi f_{0} t+\varphi\right), com variável aleatória \varphi e distribuição uniforme no intervalo [-\pi \pi] é estacionário no sentido amplo.

Passo 1

O enunciado dá o processo aleatório
X(t)=A\sin\bigl(2\pi f_{0}t+\varphi\bigr),
onde A e f_{0} são constantes (determinísticas) e \varphi é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo \bigl[-\pi,\pi\bigr]. A pergunta é: determinar se esse processo é estacionário no sentido amplo (wide-sense stationary, WSS).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Processo: }X(t)=A\sin(2\pi f_{0}t+\varphi).\\\ &\text{Parâmetros: }A\in\mathbb{R}\text{ fixo, }f_{0}\in\mathbb{R}\text{ fixo.}\\\ &\varphi\sim\text{Uniforme}\bigl(-\pi,\pi\bigr). \end{aligned}â

Passo 2

O que significa “estacionário no sentido amplo” (WSS)? Vou explicar passo a passo, sem pressa, que é importante dominar isso para provar a propriedade na prova.\n
Definição prática e o que precisamos verificar:
  1. A média \mathbb{E}[X(t)] deve ser constante (independente de t).\n
  2. A autocovariância (ou a função de autocorrelação quando a média é zero) deve depender apenas da diferença de tempos \tau=t_1-t_2, i.e., deve ser função de \tau e não de t_1 e t_2 separadamente.\n
    Se as duas condições acima forem verdadeiras, o processo é WSS.

Passo 3

Calcular a média \mathbb{E}[X(t)]. Primeiro escrevo a expectativa usando a definição integral, já que \varphi é contínua com densidade f_{\varphi}(\varphi)=\dfrac{1}{2\pi} para \varphi\in[-\pi,\pi].\n
A média é
\mathbb{E}[X(t)]=A\,\mathbb{E}\big[\sin(2\pi f_{0}t+\varphi)\big] = A\int_{-\pi}^{\pi}\sin\bigl(2\pi f_{0}t+\varphi\bigr)\,\frac{d\varphi}{2\pi}.
Agora faço a integral. Como \sin é função periódica com período 2\pi, a integral do seno em um período completo é zero. Formalmente, faço a mudança de variável u=2\pi f_{0}t+\varphi; como d u=d\varphi e o intervalo de \varphi tem comprimento 2\pi, a integral de \sin(u) sobre um intervalo de comprimento 2\pi vale zero. Assim
\mathbb{E}[X(t)]=A\cdot 0 = 0.
Conclusão intermediária: a média é zero e, portanto, é constante (não depende de t). Isso satisfaz a primeira condição de WSS.

Passo 4

Calcular a função de autocorrelação R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}\big[X(t_1)X(t_2)\big]. Como a média é zero, a autocovariância é igual à autocorrelação.\n
Escrevo o produto:
X(t_1)X(t_2)=A^2\sin\bigl(2\pi f_{0}t_1+\varphi\bigr)\sin\bigl(2\pi f_{0}t_2+\varphi\bigr).
Usarei a identidade trigonométrica (que é muito útil e costuma aparecer em provas):
\sin a\sin b=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr].
Aplicando com a=2\pi f_{0}t_1+\varphi e b=2\pi f_{0}t_2+\varphi, obtenho
\begin{aligned} \sin\bigl(2\pi f_{0}t_1+\varphi\bigr)\sin\bigl(2\pi f_{0}t_2+\varphi\bigr) &=\tfrac{1}{2}\Bigl[\cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1-t_2)\bigr)\\\ &\qquad-\cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1+t_2)+2\varphi\bigr)\Bigr]. \end{aligned}

Passo 5

Agora tomo expectativa em relação a \varphi. Lembre que \varphi é a única variável aleatória aqui; t_1,t_2,A,f_0 são fixos/determinísticos.\n
Usando a expressão anterior:
\begin{aligned} R_X(t_1,t_2)&=A^2\,\mathbb{E}\big[\sin(2\pi f_{0}t_1+\varphi)\sin(2\pi f_{0}t_2+\varphi)\big]\\[4pt] &= \tfrac{A^2}{2}\Bigl[\cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1-t_2)\bigr)\\\ &\qquad -\mathbb{E}\big[\cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1+t_2)+2\varphi\bigr)\big]\Bigr]. \end{aligned}
Analiso cada termo:
  • O termo \cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1-t_2)\bigr) não depende de \varphi, então fica como está.\n
  • O termo \mathbb{E}\big[\cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1+t_2)+2\varphi\bigr)\big] é uma integral da forma
\mathbb{E}\big[\cos(\text{const}+2\varphi)\big]=\int_{-\pi}^{\pi}\cos\bigl(\text{const}+2\varphi\bigr)\frac{d\varphi}{2\pi}.
Mas a função \varphi\mapsto\cos(\text{const}+2\varphi) tem período \pi, então a integral em um intervalo de comprimento 2\pi cancela (ou simplesmente observe que é integral de cosseno em um número inteiro de períodos): o resultado é zero. Assim
\mathbb{E}\big[\cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1+t_2)+2\varphi\bigr)\big]=0.]

Passo 6

Substituindo o resultado acima em R_X(t_1,t_2), obtenho
R_X(t_1,t_2)=\tfrac{A^2}{2}\cos\bigl(2\pi f_{0}(t_1-t_2)\bigr).
Veja que essa expressão depende apenas da diferença \tau=t_1-t_2. Posso reescrever como função de defasagem:
R_X(\tau)=\tfrac{A^2}{2}\cos\bigl(2\pi f_{0}\tau\bigr).
Portanto a autocorrelação (e, consequentemente, a autocovariância) depende só de \tau, não de t_1 e t_2 separadamente. Isso satisfaz a segunda condição de WSS.\n
Além disso, a variância (caso queiras anotar) é
\operatorname{Var}[X(t)]=R_X(0)=\tfrac{A^2}{2},
constante no tempo, conforme esperado.

Passo 7

Conclusão: as duas condições de estacionariedade no sentido amplo foram verificadas: média constante (igual a zero) e autocovariância que depende somente do lag \tau. Portanto o processo é WSS.\n
Observação final (útil para prova): a uniformidade de \varphi em um intervalo de comprimento 2\pi é crucial para anular os termos cruzados que dependem de 2\varphi. Se \varphi tivesse outra distribuição (por exemplo, não simétrica ou não com suporte de comprimento 2\pi), a propriedade poderia falhar.

Resposta

Sim. O processo é estacionário no sentido amplo. A média é \mathbb{E}[X(t)]=0 e a autocorrelação é \;R_X(\tau)=\dfrac{A^2}{2}\cos\bigl(2\pi f_{0}\tau\bigr).

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