Determine se o processo estocástico
, com variável aleatória
e distribuição uniforme no intervalo
é estacionário no sentido amplo.
Passo 1
O enunciado dá o processo aleatório
onde
e
são constantes (determinísticas) e
é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
. A pergunta é: determinar se esse processo é estacionário no sentido amplo (wide-sense stationary, WSS).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
O que significa “estacionário no sentido amplo” (WSS)? Vou explicar passo a passo, sem pressa, que é importante dominar isso para provar a propriedade na prova.\n
Definição prática e o que precisamos verificar:
Definição prática e o que precisamos verificar:
- A média
deve ser constante (independente de ).\n - A autocovariância (ou a função de autocorrelação quando a média é zero) deve depender apenas da diferença de tempos
, i.e., deve ser função de e não de e separadamente.\n
Se as duas condições acima forem verdadeiras, o processo é WSS.
Passo 3
Calcular a média
. Primeiro escrevo a expectativa usando a definição integral, já que
é contínua com densidade
para
.\n
A média é
A média é
Agora faço a integral. Como
é função periódica com período
, a integral do seno em um período completo é zero. Formalmente, faço a mudança de variável
; como
e o intervalo de
tem comprimento
, a integral de
sobre um intervalo de comprimento
vale zero. Assim
Conclusão intermediária: a média é zero e, portanto, é constante (não depende de
). Isso satisfaz a primeira condição de WSS.
Passo 4
Calcular a função de autocorrelação
. Como a média é zero, a autocovariância é igual à autocorrelação.\n
Escrevo o produto:
Escrevo o produto:
Usarei a identidade trigonométrica (que é muito útil e costuma aparecer em provas):
Aplicando com
e
, obtenho
Passo 5
Agora tomo expectativa em relação a
. Lembre que
é a única variável aleatória aqui;
são fixos/determinísticos.\n
Usando a expressão anterior:
Usando a expressão anterior:
Analiso cada termo:
- O termo
não depende de , então fica como está.\n - O termo
é uma integral da forma
Mas a função
tem período
, então a integral em um intervalo de comprimento
cancela (ou simplesmente observe que é integral de cosseno em um número inteiro de períodos): o resultado é zero. Assim
Passo 6
Substituindo o resultado acima em
, obtenho
Veja que essa expressão depende apenas da diferença
. Posso reescrever como função de defasagem:
Portanto a autocorrelação (e, consequentemente, a autocovariância) depende só de
, não de
e
separadamente. Isso satisfaz a segunda condição de WSS.\n
Além disso, a variância (caso queiras anotar) é
Além disso, a variância (caso queiras anotar) é
constante no tempo, conforme esperado.
Passo 7
Conclusão: as duas condições de estacionariedade no sentido amplo foram verificadas: média constante (igual a zero) e autocovariância que depende somente do lag
. Portanto o processo é WSS.\n
Observação final (útil para prova): a uniformidade de em um intervalo de comprimento
é crucial para anular os termos cruzados que dependem de
. Se
tivesse outra distribuição (por exemplo, não simétrica ou não com suporte de comprimento
), a propriedade poderia falhar.
Observação final (útil para prova): a uniformidade de
Resposta
Sim. O processo é estacionário no sentido amplo. A média é
e a autocorrelação é
.