Duas equipes disputam entre si uma série de jogos em que não pode ocorrer empate e as duas equipes têm as mesmas chances devitória. A primeira equipe que conseguir duas vitórias seguidas ou três vitórias alternadas vence a série de jogos. Qual a probabilidadede uma equipe vencer a série de jogos com duas vitórias seguidas?
Passo 1
O enunciado dá: duas equipes jogam indefinidamente partidas sem empates; cada partida tem chance igual
para cada equipe vencer. A série termina assim que ocorrer uma das duas condições: (i) alguma equipe consegue duas vitórias seguidas; ou (ii) alguma equipe consegue três vitórias alternadas (isto é, vence em jogos de índices
ou
— na prática, se não apareceu duas vitórias seguidas antes, a alternância leva a terminar no quinto jogo).
A pergunta é: qual a probabilidade de que a série seja vencida por uma equipe através da condição de duas vitórias seguidas (ou seja, que a forma de término seja “duas vitórias seguidas”)?
A pergunta é: qual a probabilidade de que a série seja vencida por uma equipe através da condição de duas vitórias seguidas (ou seja, que a forma de término seja “duas vitórias seguidas”)?
Informações relevantes:
- Cada jogo é independente e cada equipe vence com probabilidade
. - Não há empates.
- A série para assim que aparece duas vitórias seguidas por uma mesma equipe, ou quando alguma equipe chega a três vitórias alternadas (o que só pode ocorrer justamente no quinto jogo, se não houve duas seguidas antes).
A partir daqui vamos calcular essa probabilidade passo a passo.
Passo 2
Estratégia: vamos analisar todos os possíveis comprimentos de série em que a vitória por “duas vitórias seguidas” pode ocorrer. Observação crucial: a série não pode durar mais que 5 jogos. Porque:
- Se já houver duas vitórias seguidas em algum momento, a série termina antes disso.
- Se não ocorrerem duas vitórias seguidas nos primeiros 4 jogos, a sequência dos primeiros 4 deve ser obrigatoriamente alternada (isto é,
ou ); então o quinto jogo ou cria duas vitórias seguidas (se igual ao quarto) ou produz o padrão alternado de cinco jogos / , em cujo caso uma equipe tem três vitórias alternadas e a série termina. Logo comprimento máximo é 5.
Logo consideramos os finais possíveis em 2, 3, 4 ou 5 jogos e calculamos a probabilidade de término por duas vitórias seguidas em cada caso.
Passo 3
Probabilidade de terminar em 2 jogos por duas vitórias seguidas: isso ocorre quando os dois primeiros jogos são vencidos pela mesma equipe (sequências
ou
). Cada sequência tem probabilidade
, e há 2 sequências assim, então
Intuição: metade das vezes os dois primeiros jogos vão para a mesma equipe e a série já acaba aí.
Passo 4
Probabilidade de terminar em 3 jogos por duas vitórias seguidas: para isso os dois primeiros jogos devem ser diferentes (probabilidade
) e o terceiro jogo deve igualar o segundo (probabilidade
), produzindo duas vitórias seguidas nos jogos 2–3. Assim
Passo 5
Probabilidade de terminar em 4 jogos por duas vitórias seguidas: para chegar ao quarto jogo sem que tenha ocorrido duas seguidas, os primeiros três jogos precisam ser alternados (por exemplo
ou
). A probabilidade dos primeiros três alternados é
(foi o ramo complementar ao caso do passo anterior). A partir dessa situação, o quarto jogo deve igualar o terceiro (probabilidade
) para produzir duas vitórias seguidas nos jogos 3–4. Logo
Passo 6
Probabilidade de terminar em 5 jogos por duas vitórias seguidas: primeiro, para chegar ao quinto jogo sem término, os primeiros quatro jogos têm que ser alternados (
ou
). A probabilidade disso é
No quinto jogo há duas possibilidades: (a) ele iguala o quarto jogo (probabilidade
) e então a série termina por duas vitórias seguidas nos jogos 4–5; ou (b) ele é diferente do quarto (probabilidade
) e então temos
ou
, o que dá três vitórias alternadas e a série termina por essa outra condição. Portanto
E a probabilidade de terminar em 5 por três vitórias alternadas é também
.
Passo 7
Agora somamos todas as probabilidades de terminar por duas vitórias seguidas nos diferentes comprimentos possíveis:
Essa soma é uma progressão geométrica finita; somando:
Alternativamente, como a única outra forma de terminar (no máximo) é pelas três vitórias alternadas no quinto jogo, cuja probabilidade foi
, temos
.