Duas equipes disputam entre si uma série de jogos em que não pode ocorrer empate e as duas equipes têm as mesmas chances devitória. A primeira equipe que conseguir duas vitórias seguidas ou três vitórias alternadas vence a série de jogos. Qual a probabilidadede uma equipe vencer a série de jogos com duas vitórias seguidas?

Passo 1

O enunciado dá: duas equipes jogam indefinidamente partidas sem empates; cada partida tem chance igual 1/2 para cada equipe vencer. A série termina assim que ocorrer uma das duas condições: (i) alguma equipe consegue duas vitórias seguidas; ou (ii) alguma equipe consegue três vitórias alternadas (isto é, vence em jogos de índices 1,3,5 ou 2,4,5 — na prática, se não apareceu duas vitórias seguidas antes, a alternância leva a terminar no quinto jogo).
A pergunta é: qual a probabilidade de que a série seja vencida por uma equipe através da condição de duas vitórias seguidas (ou seja, que a forma de término seja “duas vitórias seguidas”)?
Informações relevantes:
  • Cada jogo é independente e cada equipe vence com probabilidade 1/2.
  • Não há empates.
  • A série para assim que aparece duas vitórias seguidas por uma mesma equipe, ou quando alguma equipe chega a três vitórias alternadas (o que só pode ocorrer justamente no quinto jogo, se não houve duas seguidas antes).
    A partir daqui vamos calcular essa probabilidade passo a passo.

Passo 2

Estratégia: vamos analisar todos os possíveis comprimentos de série em que a vitória por “duas vitórias seguidas” pode ocorrer. Observação crucial: a série não pode durar mais que 5 jogos. Porque:
  • Se já houver duas vitórias seguidas em algum momento, a série termina antes disso.
  • Se não ocorrerem duas vitórias seguidas nos primeiros 4 jogos, a sequência dos primeiros 4 deve ser obrigatoriamente alternada (isto é, ABAB ou BABA); então o quinto jogo ou cria duas vitórias seguidas (se igual ao quarto) ou produz o padrão alternado de cinco jogos ABABA / BABAB, em cujo caso uma equipe tem três vitórias alternadas e a série termina. Logo comprimento máximo é 5.
    Logo consideramos os finais possíveis em 2, 3, 4 ou 5 jogos e calculamos a probabilidade de término por duas vitórias seguidas em cada caso.

Passo 3

Probabilidade de terminar em 2 jogos por duas vitórias seguidas: isso ocorre quando os dois primeiros jogos são vencidos pela mesma equipe (sequências AA ou BB). Cada sequência tem probabilidade (1/2)^2, e há 2 sequências assim, então
P(\text{termina em 2 por duas seguidas}) = 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{2}.
Intuição: metade das vezes os dois primeiros jogos vão para a mesma equipe e a série já acaba aí.

Passo 4

Probabilidade de terminar em 3 jogos por duas vitórias seguidas: para isso os dois primeiros jogos devem ser diferentes (probabilidade \tfrac{1}{2}) e o terceiro jogo deve igualar o segundo (probabilidade \tfrac{1}{2}), produzindo duas vitórias seguidas nos jogos 2–3. Assim
P(\text{termina em 3 por duas seguidas}) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Probabilidade de terminar em 4 jogos por duas vitórias seguidas: para chegar ao quarto jogo sem que tenha ocorrido duas seguidas, os primeiros três jogos precisam ser alternados (por exemplo ABA ou BAB). A probabilidade dos primeiros três alternados é
P(\text{primeiros 3 alternados}) = \tfrac{1}{4}
(foi o ramo complementar ao caso do passo anterior). A partir dessa situação, o quarto jogo deve igualar o terceiro (probabilidade \tfrac{1}{2}) para produzir duas vitórias seguidas nos jogos 3–4. Logo
P(\text{termina em 4 por duas seguidas}) = \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8}.

Passo 6

Probabilidade de terminar em 5 jogos por duas vitórias seguidas: primeiro, para chegar ao quinto jogo sem término, os primeiros quatro jogos têm que ser alternados ( ABAB ou BABA). A probabilidade disso é
P(\text{primeiros 4 alternados}) = \tfrac{1}{8}.
No quinto jogo há duas possibilidades: (a) ele iguala o quarto jogo (probabilidade \tfrac{1}{2}) e então a série termina por duas vitórias seguidas nos jogos 4–5; ou (b) ele é diferente do quarto (probabilidade \tfrac{1}{2}) e então temos ABABA ou BABAB, o que dá três vitórias alternadas e a série termina por essa outra condição. Portanto
P(\text{termina em 5 por duas seguidas}) = \tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{16}.
E a probabilidade de terminar em 5 por três vitórias alternadas é também \tfrac{1}{16}.

Passo 7

Agora somamos todas as probabilidades de terminar por duas vitórias seguidas nos diferentes comprimentos possíveis:
P(\text{duas seguidas}) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{16}.
Essa soma é uma progressão geométrica finita; somando:
P(\text{duas seguidas}) = \tfrac{8}{16} + \tfrac{4}{16} + \tfrac{2}{16} + \tfrac{1}{16} = \tfrac{15}{16}.
Alternativamente, como a única outra forma de terminar (no máximo) é pelas três vitórias alternadas no quinto jogo, cuja probabilidade foi \tfrac{1}{16}, temos 1-\tfrac{1}{16}=\tfrac{15}{16}.

Resposta

\tfrac{15}{16}

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