Determine a profundidade uniforme y , a área A e o perímetro molhado P para as condições a seguir:
Canal retangular, \mathrm{b}=7,5 \mathrm{~m}, \mathrm{Q}=33 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{n} 0,020, \mathrm{I} 0,0004.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a profundidade uniforme y, a área da seção molhada A e o perímetro molhado P para um canal retangular dadas as condições. Informações fornecidas:
b=7,5\\ \mathrm{m},\qquad Q=33\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\qquad n=0,020,\qquad I=0,0004.
Perguntas explícitas:
\text{(1) }y\quad\text{(profundidade uniforme)},\qquad \text{(2) }A\quad\text{(área molhada)},\qquad \text{(3) }P\quad\text{(perímetro molhado)}.áí

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Em escoamento uniforme em canal aberto usamos a fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2);
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P};
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a inclinação da linha de energia, que aqui é igual à declividade do canal ( S=I).
  • Para um canal retangular de largura b e profundidade y:
A=b\,y,\qquad P=b+2y,\qquad R=\frac{b\,y}{\,b+2y\,}.
Observação prática: como n e I são conhecidos, podemos simplificar \dfrac{1}{n}S^{1/2}. No nosso caso:
S^{1/2}=\sqrt{I}=\sqrt{0,0004}=0,02,
então
\frac{1}{n}S^{1/2}=\frac{1}{0,020}\cdot 0,02=1.
Portanto a equação de Manning simplifica-se para
Q = A\,R^{2/3}.
Essa simplificação é uma mão na roda pois elimina um coeficiente e deixa a equação em y só.

Passo 3

Escrever a equação em termos de y (apenas álgebra):
A=b\,y, \qquad R=\frac{b\,y}{b+2y}.
Substituindo em Q=A\,R^{2/3}:
Q = b\,y\left(\frac{b\,y}{b+2y}\right)^{2/3}.
Podemos reescrever (opcional) como
Q = b^{5/3}\,\frac{y^{5/3}}{(b+2y)^{2/3}},
mas a forma prática para iterar é a primeira: calcular A e R para um y candidato e verificar A\,R^{2/3}.

Passo 4

Método numérico (tentativas dirigidas): vamos fazer aproximações sucessivas (tipo bissecção/afinação) até que A\,R^{2/3} fique muito próximo de Q=33. Vou mostrar tentativas e os cálculos para cada y candidato — assim você pode repetir na prova com uma calculadora simples ou tabelas.
Tentativa 1: y=1{,}0\\ \mathrm{m}
A=b\,y=7{,}5\cdot1{,}0=7{,}5\\ \mathrm{m}^2,
P=b+2y=7{,}5+2\cdot1{,}0=9{,}5\\ \mathrm{m},
R=\frac{A}{P}=\frac{7{,}5}{9{,}5}=0{,}7894737,
R^{2/3}\approx 0{,}8541\quad(\text{avaliação de potência}),çãê
Q_{\text{calc}}=A\,R^{2/3}=7{,}5\cdot0{,}8541\approx6{,}41\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Como 6{,}41\ll33, precisamos de profundidade bem maior.
Tentativa 2: y=3{,}0\\ \mathrm{m}
A=7{,}5\cdot3{,}0=22{,}5\\ \mathrm{m}^2,
P=7{,}5+2\cdot3{,}0=13{,}5\\ \mathrm{m},
R=\frac{22{,}5}{13{,}5}=1{,}6666667,
R^{2/3}\approx 1{,}405,
Q_{\text{calc}}=22{,}5\cdot1{,}405\approx31{,}61\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Estamos perto, mas ainda abaixo de 33. Logo y é um pouco maior que 3{,}0\\ \mathrm{m}.
Tentativa 3: y=3{,}1\\ \mathrm{m}
A=7{,}5\cdot3{,}1=23{,}25\\ \mathrm{m}^2,
P=7{,}5+2\cdot3{,}1=13{,}7\\ \mathrm{m},
R=\frac{23{,}25}{13{,}7}\approx1{,}6978,
R^{2/3}\approx1{,}4239,
Q_{\text{calc}}=23{,}25\cdot1{,}4239\approx33{,}11\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Agora estamos ligeiramente acima de 33. Portanto a solução y está entre 3{,}0 e 3{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Afinação para convergência (buscando precisão razoável para prova). Vamos estreitar entre 3{,}09 e 3{,}095:
Tentativa 4: y=3{,}09\\ \mathrm{m}
A=7{,}5\cdot3{,}09=23{,}175\\ \mathrm{m}^2,
P=7{,}5+2\cdot3{,}09=13{,}68\\ \mathrm{m},
R=\frac{23{,}175}{13{,}68}\approx1{,}6947,
R^{2/3}\approx1{,}4224,
Q_{\text{calc}}=23{,}175\cdot1{,}4224\approx32{,}97\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Ainda um pouco abaixo de 33.
Tentativa 5: y=3{,}093\\ \mathrm{m}
A=7{,}5\cdot3{,}093=23{,}1975\\ \mathrm{m}^2,
P=7{,}5+2\cdot3{,}093=13{,}686\\ \mathrm{m},
R=\frac{23{,}1975}{13{,}686}\approx1{,}6956,
R^{2/3}\approx1{,}4228,
Q_{\text{calc}}=23{,}1975\cdot1{,}4228\approx33{,}00\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Esse valor fica praticamente em 33 — ótimo para uma prova. Concluímos que a profundidade uniforme é aproximadamente y=3{,}093\\ \mathrm{m}. (Arredondando para duas casas decimais seria 3{,}09\\ \mathrm{m}.)

Passo 6

Calcular A e P com a profundidade encontrada:
A=b\,y=7{,}5\cdot3{,}093=23{,}1975\\ \mathrm{m}^2\approx23{,}20\\ \mathrm{m}^2,
P=b+2y=7{,}5+2\cdot3{,}093=13{,}686\\ \mathrm{m}\approx13{,}69\\ \mathrm{m}.
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas a simplificação ( \dfrac{1}{n}S^{1/2}=1) ajudou muito — na prova fique atento a essas pequenas simplificações que salvam tempo.

Resposta

y=3{,}093\\ \mathrm{m}
A=23{,}1975\\ \mathrm{m}^2
P=13{,}686\\ \mathrm{m}

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