Para elevação da água até o reservatório superior calcule: \mathbf{a} ) a perda de carga na sucção; b) perda de carga no recalque; c) perda de pressão total e perda de carga total da bomba. Considere a velocidade do fluido no ponto 2 como sendo 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para definirmos as perdas de carga, considere que as curvas e válvulas acrescentam um comprimento equivalente de trecho reto da seguinte forma:
Na sucção, para o diâmetro da tubulação de 75 mm tem-se os seguintes acréscimos de comprimento equivalente: válvula de pé =20 \mathrm{~m}; curva =1,6 \mathrm{~m}; válvula globo =26 \mathrm{~m}; trecho reto =5 \mathrm{~m}
No recalque (depois da bomba) onde o diâmetro da tubulação é de 50 mm tem-se os seguintes acréscimos de comprimento equivalente: 3 curvas =3,3 \mathrm{~m}; Válvula globo =17,4 \mathrm{~m}; Válvula de retenção = 4,2 \mathrm{~m}; Saída =1,5 \mathrm{~m}; Trecho reto =17 \mathrm{~m}.

Passo 1

Dados do enunciado (copiei os números do enunciado):\n
Diâmetro da sucção: D_{s}=75\\ \mathrm{mm}=0,075\\ \mathrm{m}.\n
Diâmetro do recalque: D_{r}=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.\n
Velocidade no ponto 2: V_{2}=5\\ \mathrm{m/s}. Vou assumir que esse V_{2} é a velocidade na tubulação de sucção (diâmetro 0,075\\ \mathrm{m}) — o enunciado não especificou a posição exata do ponto 2, então essa é a hipótese natural.\n
Equivalentes de comprimento (peguei estes valores do enunciado):\n
  • Sucção (tubulação 75\\ \mathrm{mm}): válvula de pé =20\\ \mathrm{m}; curva =1,6\\ \mathrm{m}; válvula globo =26\\ \mathrm{m}; trecho reto =5\\ \mathrm{m}. Logo L_{eq,s}=20+1,6+26+5=52,6\\ \mathrm{m}.\n
  • Recalque (tubulação 50\\ \mathrm{mm}): 3 curvas =3,3\\ \mathrm{m}; válvula globo =17,4\\ \mathrm{m}; válvula de retenção =4,2\\ \mathrm{m}; saída =1,5\\ \mathrm{m}; trecho reto =17\\ \mathrm{m}. Logo L_{eq,r}=3,3+17,4+4,2+1,5+17=43,4\\ \mathrm{m}.\n
    Valores físicos padrão (vou assumir água à temperatura ambiente; estes valores não foram dados no enunciado, então estou adotando valores típicos): densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, viscosidade cinemática \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}, aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
    O que vamos calcular: (a) perda de carga na sucção (em metros de coluna d’água), (b) perda de carga no recalque (em metros), (c) perda de pressão total (em Pa) e perda de carga total que a bomba precisa vencer (em metros). Obs.: como não há diferença de nível dada entre reservatórios, a parte estática (elevação geométrica) não será incluída — vou calcular apenas as perdas por atrito/minores e a diferença de velocidade que a bomba deve vencer; se houver altura entre reservatórios, essa altura deve ser somada ao resultado final da bomba.

Passo 2

Encontrar vazão e velocidade no recalque por continuidade.\n
Área da sucção:
A_{s}=\frac{\pi D_{s}^{2}}{4}=\frac{\pi(0,075)^{2}}{4}.
Cálculo numérico:
A_{s}=\frac{\pi(0{,}075)^{2}}{4}\approx 4{,}417\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
Vazão (continuidade Q=A_{s}V_{s}, com V_{s}=V_{2}=5\\ \mathrm{m/s}):
Q=A_{s}V_{s}\approx 4{,}417\times10^{-3}\cdot5\approx 0{,}02209\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Velocidade no recalque (diâmetro D_{r}=0,05\\ \mathrm{m}):
A_{r}=\frac{\pi D_{r}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}05)^{2}}{4}\approx 1{,}963\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},
V_{r}=\frac{Q}{A_{r}}=\frac{A_{s}V_{s}}{A_{r}}=V_{s}\left(\frac{D_{s}}{D_{r}}\right)^{2}=5\left(\frac{0{,}075}{0{,}05}\right)^{2}=11{,}25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular números de Reynolds para cada trecho (importante para escolher o fator de atrito).\n
Fórmula do Reynolds:
Re=\frac{VD}{\nu}.
Reynolds na sucção:
Re_{s}=\frac{V_{s}D_{s}}{\nu}=\frac{5\cdot0{,}075}{1{,}0\times10^{-6}}\approx375{,}000.
Reynolds no recalque:
Re_{r}=\frac{V_{r}D_{r}}{\nu}=\frac{11{,}25\cdot0{,}05}{1{,}0\times10^{-6}}\approx562{,}500.
Ambos são muito maiores que 4000, portanto fluxo turbulento.

Passo 4

Escolher fator de atrito f. Para fluxo turbulento e se não nos deram rugosidade, usaremos a fórmula de Blasius (aplicável para 4{,}000\lesssim Re\lesssim10^{5} 10^{6}, uma aproximação prática):
f=0{,}3164\;Re^{-0{,}25}.
Calcular f em cada trecho.\n
Para a sucção:
f_{s}=0{,}3164\;Re_{s}^{-0{,}25}=0{,}3164\cdot(375{,}000)^{-0{,}25}\approx0{,}0128.
Para o recalque:
f_{r}=0{,}3164\;Re_{r}^{-0{,}25}=0{,}3164\cdot(562{,}500)^{-0{,}25}\approx0{,}0116.

Passo 5

Calcular perda de carga por atrito na sucção usando Darcy–Weisbach com comprimento equivalente.\n
Fórmula Darcy–Weisbach em termos de carga:
h_{f}=f\frac{L_{eq}}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g}.
Para a sucção: L_{eq,s}=52{,}6\\ \mathrm{m}, D_{s}=0{,}075\\ \mathrm{m}, V_{s}=5\\ \mathrm{m/s}, f_{s}=0{,}0128.\n
Calcular termos intermediários:
\frac{L_{eq,s}}{D_{s}}=\frac{52{,}6}{0{,}075}\approx701{,}33,
\frac{V_{s}^{2}}{2g}=\frac{5^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{25}{19{,}62}\approx1{,}274\\ \mathrm{m}.
Logo
h_{f,s}=0{,}0128\cdot701{,}33\cdot1{,}274\approx11{,}44\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular perda de carga por atrito no recalque.\n
Para o recalque: L_{eq,r}=43{,}4\\ \mathrm{m}, D_{r}=0{,}05\\ \mathrm{m}, V_{r}=11{,}25\\ \mathrm{m/s}, f_{r}=0{,}0116.\n
Calcular termos intermediários:
\frac{L_{eq,r}}{D_{r}}=\frac{43{,}4}{0{,}05}=868,
\frac{V_{r}^{2}}{2g}=\frac{11{,}25^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{126{,}5625}{19{,}62}\approx6{,}451\\ \mathrm{m}.
Logo
h_{f,r}=0{,}0116\cdot868\cdot6{,}451\approx64{,}75\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Perda de pressão total decorrente das perdas por atrito (converter carga total para pressão):\n
Carga de atrito total:
h_{f,total}=h_{f,s}+h_{f,r}=11{,}44+64{,}75=76{,}19\\ \mathrm{m}.
Pressão equivalente:
\Delta p_{total}=\rho g h_{f,total}=1000\cdot9{,}81\cdot76{,}19\approx7{,}47\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx747{,}4\\ \mathrm{kPa}).

Passo 8

Perda de carga total que a bomba precisa vencer (carga total da bomba) — incluímos as perdas por atrito mais a diferença de carga cinética entre recalque e sucção.\n
A variação do termo de velocidade (carga cinética) que a bomba deve fornecer é
\Delta\left(\frac{V^{2}}{2g}\right)=\frac{V_{r}^{2}}{2g}-\frac{V_{s}^{2}}{2g}=6{,}451-1{,}274=5{,}177\\ \mathrm{m}.
Portanto a carga total da bomba (sem considerar diferença de elevação geométrica entre reservatórios, que não foi informada) é
H_{bomba}=h_{f,total}+\Delta\left(\frac{V^{2}}{2g}\right)=76{,}19+5{,}177\approx81{,}37\\ \mathrm{m}.
Convertendo para pressão que a bomba entrega:
\Delta p_{bomba}=\rho g H_{bomba}=1000\cdot9{,}81\cdot81{,}37\approx7{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx799{,}0\\ \mathrm{kPa}).

Resposta

(a) Perda de carga na sucção: h_{f,s}\approx11{,}44\\ \mathrm{m}.\n
(b) Perda de carga no recalque: h_{f,r}\approx64{,}75\\ \mathrm{m}.\n
(c) Perda de pressão total (devido às perdas por atrito): \Delta p_{total}\approx7{,}47\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (equivalente a h_{f,total}\approx76{,}19\\ \mathrm{m}).\n
(c) Perda de carga total que a bomba deve vencer (sem considerar diferença de nível entre reservatórios): H_{bomba}\approx81{,}37\\ \mathrm{m} (equivalente a \Delta p_{bomba}\approx7{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).

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