Determine a profundidade uniforme y , a área A e o perímetro molhado P para as condições a seguir:
Canal circular,
;
Canal circular,
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a profundidade uniforme
, a área molhada
e o perímetro molhado
para um canal circular parcialmente cheio, com os dados:
Dados importantes extraídos do enunciado:
As incógnitas a determinar são:
- a profundidade uniforme
(altura da lâmina d’água medida a partir do fundo do tubo); - a área da seção molhada
; - o perímetro molhado
.
Passo 2
Entendendo a equação fundamental que vamos usar (a fórmula de Manning) — o lugar onde a física do escoamento aparece:
onde:
-
é a vazão (m /s) — dada; -
é o coeficiente de Manning — dado; -
é a área molhada (m ) — depende de ; -
é o raio hidráulico definido por (m); -
é o perímetro molhado (m) — depende de ; -
é a inclinação do escoamento (adimensional) — no enunciado .
Explicação intuitiva: para cada profundidade
temos uma área
e um perímetro molhado
, daí
. A equação de Manning relaciona
com essas grandezas; para achar
precisamos encontrar o valor de
que torna a igualdade verdadeira.
Passo 3
Geometria da seção circular parcialmente cheia — como expressar
e
em função de uma variável conveniente.
É comum parametrizar a porção molhada por um ângulo central. Defino
(em radianos) como a metade do ângulo central da secção molhada, de modo que o ângulo total da seção molhada é
(com
). A relação entre profundidade
e
é:
As fórmulas da geometria (segmento circular) são:
Explicando cada termo:
-
é a área do setor de ângulo ; - subtrai-se a área do triângulo isósceles correspondente, que leva ao termo
; - o perímetro molhado é o comprimento do arco correspondente,
.
Passo 4
Transformando a equação de Manning em função de
. Usando
, obtemos para cada
:
Vou definir uma constante para simplificar os cálculos numéricos:
Com os dados:
,
, então
Logo
Passo 5
Estratégia numérica: resolver
por iteração (método da bisseção/interpolação). Raciocínio:
varia de
(cano vazio) a
(cano cheio). Para cada
calculo
,
,
e
. Procuro
tal que
.
Antes de iterar, avalio
em alguns pontos para localizar o intervalo:
- Para
(meio cano, ):
(isto é menor que
.)
- Para
(cano cheio):
(isto é maior que
.)
Conclusão: solução
está entre
e
. Vou fazer iterações nesse intervalo.
Passo 6
Primeira iteração (teste em
):
Calcule:
Resultado:
. Logo a solução tem
.
Passo 7
Segunda iteração (teste em
):
Calcule:
Resultado:
. Agora sabemos que a solução está entre
e
.
Passo 8
Interpolação linear para refinar
. Entre os pontos:
Aproximação linear para a raiz:
Cálculo:
Passo 9
Avaliação final em
( cálculo detalhado ):
Calcule
,
,
:
Agora
:
o que está muito próximo de
. A pequena diferença é dentro de um erro aceitável de iteração; posso ajustar mais se quiser mais casas decimais, mas para prova isso é suficiente.
Passo 10
Calcular a profundidade
correspondente a
. Lembrete da relação:
Com
,
Passo 11
Arredondamentos finais e apresentação dos valores com precisão prática para prova:
- profundidade uniforme
, - área molhada
, - perímetro molhado
.
Esses valores satisfazem a equação de Manning com boa aproximação ao
.