Determine a profundidade uniforme y , a área A e o perímetro molhado P para as condições a seguir:
Canal circular, \mathrm{d}=1,8 \mathrm{~m}, \mathrm{Q}=3,3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{n}=0,012, \mathrm{I}=0,001;

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a profundidade uniforme y, a área molhada A e o perímetro molhado P para um canal circular parcialmente cheio, com os dados:
d=1{,}8\\ \text{m},\quad Q=3{,}3\\ \text{m}^3/\text{s},\quad n=0{,}012,\quad I=0{,}001.
Dados importantes extraídos do enunciado:
r=\frac{d}{2}=0{,}9\\ \text{m}.
As incógnitas a determinar são:
  • a profundidade uniforme y (altura da lâmina d’água medida a partir do fundo do tubo);
  • a área da seção molhada A;
  • o perímetro molhado P.

Passo 2

Entendendo a equação fundamental que vamos usar (a fórmula de Manning) — o lugar onde a física do escoamento aparece:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão (m ^3/s) — dada;
  • n é o coeficiente de Manning — dado;
  • A é a área molhada (m ^2) — depende de y;
  • R é o raio hidráulico definido por R=\dfrac{A}{P} (m);
  • P é o perímetro molhado (m) — depende de y;
  • S é a inclinação do escoamento (adimensional) — no enunciado S=I=0{,}001.
Explicação intuitiva: para cada profundidade y temos uma área A(y) e um perímetro molhado P(y), daí R(y)=A(y)/P(y). A equação de Manning relaciona Q com essas grandezas; para achar y precisamos encontrar o valor de y que torna a igualdade verdadeira.

Passo 3

Geometria da seção circular parcialmente cheia — como expressar A e P em função de uma variável conveniente.
É comum parametrizar a porção molhada por um ângulo central. Defino \theta (em radianos) como a metade do ângulo central da secção molhada, de modo que o ângulo total da seção molhada é 2\theta (com 0\le \theta\le \pi). A relação entre profundidade y e \theta é:
\cos\theta=\frac{r-y}{r}\quad\Longrightarrow\quad y=r\bigl(1-\cos\theta\bigr).
As fórmulas da geometria (segmento circular) são:
A(\theta)=\frac{r^{2}}{2}\bigl(2\theta-\sin 2\theta\bigr)=r^{2}\bigl(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\bigr),
P(\theta)=2r\theta.
Explicando cada termo:
  • r^{2}\,2\theta/2 = r^{2}\theta é a área do setor de ângulo 2\theta;
  • subtrai-se a área do triângulo isósceles correspondente, que leva ao termo -(r^{2}/2)\sin 2\theta;
  • o perímetro molhado é o comprimento do arco correspondente, 2r\theta.

Passo 4

Transformando a equação de Manning em função de \theta. Usando R(\theta)=A(\theta)/P(\theta), obtemos para cada \theta:
Q(\theta)=\frac{1}{n}\,A(\theta)\,\biggl(\frac{A(\theta)}{P(\theta)}\biggr)^{2/3}\,S^{1/2}.
Vou definir uma constante para simplificar os cálculos numéricos:
K=\frac{1}{n}\,S^{1/2}.
Com os dados: n=0{,}012, S=0{,}001, então
S^{1/2}=\sqrt{0{,}001}=0{,}0316227766\ldots,
K=\frac{1}{0{,}012}\times 0{,}0316227766\approx 83{,}3333333\times 0{,}0316227766\approx 2{,}635231383.
Logo
Q(\theta)=K\,A(\theta)\,\biggl(\frac{A(\theta)}{P(\theta)}\biggr)^{2/3}.

Passo 5

Estratégia numérica: resolver Q(\theta)=3{,}3 por iteração (método da bisseção/interpolação). Raciocínio: \theta varia de 0 (cano vazio) a \pi (cano cheio). Para cada \theta calculo A(\theta), P(\theta), R(\theta) e Q(\theta). Procuro \theta tal que Q(\theta)=3{,}3.
Antes de iterar, avalio Q em alguns pontos para localizar o intervalo:
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (meio cano, y=r): A=\tfrac{1}{2}\pi r^{2}=1{,}2732395\\ \text{m}^2,\quad P=2r\cdot\tfrac{\pi}{2}=2{,}8274334\\ \text{m},
R=\frac{A}{P}=0{,}45\\ \text{m}\Rightarrow Q\approx 1{,}97\\ \text{m}^3/\text{s}.
(isto é menor que 3{,}3.)
  • Para \theta=\pi (cano cheio): A=\pi r^{2}=2{,}546479\\ \text{m}^2,\quad P=2\pi r=5{,}654867\\ \text{m},
R=0{,}45\\ \text{m}\Rightarrow Q\approx 3{,}94\\ \text{m}^3/\text{s}.
(isto é maior que 3{,}3.)
Conclusão: solução \theta está entre \tfrac{\pi}{2} e \pi. Vou fazer iterações nesse intervalo.

Passo 6

Primeira iteração (teste em \theta=1{,}9635\\ \text{rad}\approx 112{,}5^\circ):
2\theta=3{,}9270,\quad \sin 2\theta=-0{,}70710678.
Calcule:
A= r^{2}\bigl(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\bigr)=0{,}81\bigl(1{,}9635+0{,}3535534\bigr)=1{,}8768\\ \text{m}^2,
P=2r\theta=2\cdot0{,}9\cdot1{,}9635=3{,}5343\\ \text{m},
R=\frac{A}{P}=0{,}5311\\ \text{m},
Q(\theta)=K\,A\,R^{2/3}\approx 2{,}635231383\cdot1{,}8768\cdot(0{,}5311)^{2/3}\approx 3{,}241\\ \text{m}^3/\text{s}.
Resultado: Q(\theta)=3{,}241<3{,}3. Logo a solução tem \theta>1{,}9635.

Passo 7

Segunda iteração (teste em \theta=2{,}00\\ \text{rad}):
2\theta=4{,}00,\quad \sin 2\theta=-0{,}756802.
Calcule:
A=0{,}81\bigl(2{,}00+0{,}378401\bigr)=1{,}9267\\ \text{m}^2,
P=2\cdot0{,}9\cdot2{,}00=3{,}6\\ \text{m},
R=\frac{A}{P}=0{,}5352\\ \text{m},
Q(\theta)=2{,}635231383\cdot1{,}9267\cdot(0{,}5352)^{2/3}\approx 3{,}345\\ \text{m}^3/\text{s}.
Resultado: Q(\theta)=3{,}345>3{,}3. Agora sabemos que a solução está entre \theta=1{,}9635 e \theta=2{,}00.

Passo 8

Interpolação linear para refinar \theta. Entre os pontos:
\theta_1=1{,}9635\quad\text{com}\\ Q_1=3{,}241,
\theta_2=2{,}00\quad\text{com}\\ Q_2=3{,}345.
Aproximação linear para a raiz:
\theta\approx \theta_1 + (\theta_2-\theta_1)\frac{3{,}3-Q_1}{Q_2-Q_1} =1{,}9635 + (0{,}0365)\frac{3{,}3-3{,}241}{3{,}345-3{,}241}.
Cálculo:
\frac{3{,}3-3{,}241}{3{,}345-3{,}241}\approx\frac{0{,}059}{0{,}104}\approx0{,}567,
\theta\approx 1{,}9635 + 0{,}0365\cdot0{,}567\approx 1{,}9842\\ \text{rad}.

Passo 9

Avaliação final em \theta\approx 1{,}9842\\ \text{rad} ( cálculo detalhado ):
2\theta\approx 3{,}9684,\quad \sin 2\theta\approx -0{,}7349.
Calcule A, P, R:
A=0{,}81\bigl(1{,}9842+0{,}36745\bigr)=0{,}81\cdot2{,}35165\approx 1{,}9037\\ \text{m}^2,
P=2\cdot0{,}9\cdot1{,}9842\approx 3{,}5716\\ \text{m},
R=\frac{A}{P}\approx\frac{1{,}9037}{3{,}5716}\approx 0{,}5329\\ \text{m}.
Agora Q:
Q(\theta)=2{,}635231383\cdot1{,}9037\cdot(0{,}5329)^{2/3}\approx 3{,}298\\ \text{m}^3/\text{s},
o que está muito próximo de 3{,}3. A pequena diferença é dentro de um erro aceitável de iteração; posso ajustar mais se quiser mais casas decimais, mas para prova isso é suficiente.

Passo 10

Calcular a profundidade y correspondente a \theta. Lembrete da relação:
y=r\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Com \theta\approx 1{,}9842,
\cos\theta\approx -0{,}4016\quad\Longrightarrow\quad y=0{,}9\bigl(1-(-0{,}4016)\bigr)=0{,}9\cdot1{,}4016\approx 1{,}2614\\ \text{m}.

Passo 11

Arredondamentos finais e apresentação dos valores com precisão prática para prova:
  • profundidade uniforme y\approx 1{,}261\\ \text{m},
  • área molhada A\approx 1{,}904\\ \text{m}^2,
  • perímetro molhado P\approx 3{,}572\\ \text{m}.
Esses valores satisfazem a equação de Manning com boa aproximação ao Q=3{,}3\\ \text{m}^3/\text{s}.

Resposta

y\approx 1{,}261\\ \text{m}
A\approx 1{,}904\\ \text{m}^2
P\approx 3{,}572\\ \text{m}

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