Determine a projeção ortogonal projv u e calcule o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
(e) u=(2,5) e v=(-5,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar a projeção ortogonal do vetor u = (2,5) sobre o vetor v = (-5,2) e também calcular o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar as fórmulas de projeção vetorial e de cálculo de ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de u sobre v. A fórmula é:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que também é o quadrado do módulo de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (2)(-5) + (5)(2) = -10 + 10 = 0
Agora, calculamos v cdot v:
v cdot v = (-5)^2 + (2)^2 = 25 + 4 = 29
Então, substituindo na fórmula da projeção:
projv u = ( 029 ) v = 0 cdot v = (0, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo theta entre u e v. A fórmula para o cosseno do ângulo é:
cos theta = u cdot v||u|| , ||v||
Já sabemos que u cdot v = 0. Vamos calcular os módulos de u e v.
Módulo de u:
||u|| = raiz2^2 + 5^2 = raiz4 + 25 = raiz29
Módulo de v:
||v|| = raiz(-5)^2 + 2^2 = raiz25 + 4 = raiz29
Então,
cos theta = 0raiz29 cdot raiz29 = 0
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0) = 90^circ

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é (0, 0) e o ângulo entre u e v é 90^circ.

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