Determine a projeção ortogonal
e calcule o ângulo entre
e
nos seguintes casos:
(e)
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
e também calcular o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar as fórmulas de projeção vetorial e de cálculo de ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de
sobre
. A fórmula é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
é o produto escalar de
consigo mesmo, que também é o quadrado do módulo de
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Agora, calculamos
:
Então, substituindo na fórmula da projeção:
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo
entre
e
. A fórmula para o cosseno do ângulo é:
Já sabemos que
. Vamos calcular os módulos de
e
.
Módulo de
:
Módulo de
:
Então,
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é
e o ângulo entre
e
é
.