Determine a projeção ortogonal projv u e calcule o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
(d) u=(raiz32, 12) e v=(raiz22,-raiz22);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve projeção ortogonal e cálculo do ângulo entre dois vetores. A gente vai precisar lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre o outro e usar o produto escalar para achar o ângulo. Os vetores que temos são:
  • u = (raiz32, 12)
  • v = (raiz22, -raiz22)

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a projeção ortogonal de u sobre v. A fórmula para a projeção de u em v é:
projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores e |v| é o módulo de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (raiz32) (raiz22) + (12) (-raiz22) = raiz64 - raiz24 = raiz6 - raiz24

Passo 4

Agora, vamos achar o módulo de v:
|v| = raiz(raiz22)^2 + (-raiz22)^2 = raiz24 + 24 = raiz1 = 1
Portanto, |v|^2 = 1.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
projv u = ( raiz6 - raiz241 ) v = raiz6 - raiz24 (raiz22, -raiz22)
Multiplicando os componentes:
projv u = ( (raiz6 - raiz2)raiz28, -(raiz6 - raiz2)raiz28 )
Simplificando:
projv u = ( raiz12 - raiz48, -raiz12 - raiz48 ) = ( 2raiz3 - 28, -2raiz3 - 28 ) = ( raiz3 - 14, -raiz3 - 14 )

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo entre u e v. A fórmula para o ângulo theta é:
costheta = u cdot v|u| |v|
Já calculamos u cdot v = raiz6 - raiz24 e |v| = 1. Preciso calcular |u|:
|u| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 = raiz34 + 14 = raiz1 = 1
Então:
costheta = raiz6 - raiz241 cdot 1 = raiz6 - raiz24
Para achar o ângulo, usamos a função inversa do cosseno:
theta = cos^-1( raiz6 - raiz24 )

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é ( raiz3 - 14, -raiz3 - 14 ) e o ângulo entre u e v é cos^-1( raiz6 - raiz24 ).

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