Determine a projeção ortogonal de
sobre
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a projeção ortogonal do vetor
sobre o subespaço
gerado pelos vetores
e
.
Informações dadas que vamos usar: ,
e
, e
.
A tarefa é encontrar o vetor tal que
seja ortogonal a todo vetor de
(ou seja, ortogonal a
e a
).
Informações dadas que vamos usar:
A tarefa é encontrar o vetor
Passo 2
Conceito importante (aula curta): projeção ortogonal numa subespaço gerado por vetores.
Se procuramos e
, podemos escrever
Se procuramos
para alguns escalares
. A condição de projeção ortogonal é que
seja ortogonal a cada gerador, isto é
onde
é o produto interno usual em
(produto escalar). Essa condição gera um sistema linear para
e
. Vou explicar cada termo à medida que usar.
Passo 3
Calculemos os produtos escalares necessários. Lembre que, para vetores
e
,
Primeiro as entradas da matriz de Gram
, com
:
Portanto
Agora os produtos com
:
O lado direito do sistema será
.]
Passo 4
Montamos o sistema normal
, isto é
Esse sistema equivale às equações
Passo 5
Resolvendo o sistema passo a passo: da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Desenvolvendo,
Então
Passo 6
Agora calculamos a projeção
. Substituindo os valores:
Somando componente a componente:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova):
. Checando ortogonalidade com
:
Com
:
Portanto
é ortogonal a
e
é realmente a projeção ortogonal.