Determine a projeção ortogonal de u=(2,-1,5) sobre S=\operatorname{ger}\{(1,0,1),(1,1,0)\}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a projeção ortogonal do vetor u=(2,-1,5) sobre o subespaço S gerado pelos vetores (1,0,1) e (1,1,0).
Informações dadas que vamos usar: \;u=(2,-1,5), \;v_1=(1,0,1) e \;v_2=(1,1,0), e S=\operatorname{ger}\{v_1,v_2\}.
A tarefa é encontrar o vetor p\in S tal que u-p seja ortogonal a todo vetor de S (ou seja, ortogonal a v_1 e a v_2).

Passo 2

Conceito importante (aula curta): projeção ortogonal numa subespaço gerado por vetores.
Se procuramos p\in S e S=\operatorname{ger}\{v_1,v_2\}, podemos escrever
p = a\,v_1 + b\,v_2
para alguns escalares a,b. A condição de projeção ortogonal é que u-p seja ortogonal a cada gerador, isto é
\langle u-p, v_1\rangle = 0\quad\text{e}\quad \langle u-p, v_2\rangle = 0,
onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^3 (produto escalar). Essa condição gera um sistema linear para a e b. Vou explicar cada termo à medida que usar.

Passo 3

Calculemos os produtos escalares necessários. Lembre que, para vetores x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.
Primeiro as entradas da matriz de Gram G, com G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle:
\langle v_1,v_1\rangle = 1^2+0^2+1^2 = 2,
\langle v_1,v_2\rangle = 1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 1,
\langle v_2,v_2\rangle = 1^2+1^2+0^2 = 2.
Portanto
G=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Agora os produtos com u:
\langle u,v_1\rangle = 2\cdot1 + (-1)\cdot0 + 5\cdot1 = 7,
\langle u,v_2\rangle = 2\cdot1 + (-1)\cdot1 + 5\cdot0 = 1.
O lado direito do sistema será \begin{pmatrix}7\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montamos o sistema normal G\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\langle u,v_1\rangle\\[4pt]\langle u,v_2\rangle\end{pmatrix}, isto é
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Esse sistema equivale às equações
2a + b = 7,
a + 2b = 1.]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo: da primeira equação temos \;b = 7 - 2a. Substituindo na segunda:
a + 2(7-2a) = 1.
Desenvolvendo,
a + 14 - 4a = 1 \quad\Rightarrow\quad -3a = -13 \quad\Rightarrow\quad a = \tfrac{13}{3}.
Então
b = 7 - 2a = 7 - 2\cdot\tfrac{13}{3} = \tfrac{21-26}{3} = -\tfrac{5}{3}.

Passo 6

Agora calculamos a projeção p = a v_1 + b v_2. Substituindo os valores:
p = \tfrac{13}{3}(1,0,1) + \Big(-\tfrac{5}{3}\Big)(1,1,0).
Somando componente a componente:
p = \Big(\tfrac{13}{3}-\tfrac{5}{3},\;0-\tfrac{5}{3},\;\tfrac{13}{3}+0\Big) = \Big(\tfrac{8}{3},\;-\tfrac{5}{3},\;\tfrac{13}{3}\Big).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): u-p=(2,-1,5)-\big(\tfrac{8}{3},-\tfrac{5}{3},\tfrac{13}{3}\big)=\big(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\big). Checando ortogonalidade com v_1:
\langle u-p,v_1\rangle = -\tfrac{2}{3}\cdot1 + \tfrac{2}{3}\cdot0 + \tfrac{2}{3}\cdot1 = 0.
Com v_2:
\langle u-p,v_2\rangle = -\tfrac{2}{3}\cdot1 + \tfrac{2}{3}\cdot1 + \tfrac{2}{3}\cdot0 = 0.
Portanto u-p é ortogonal a S e p é realmente a projeção ortogonal.

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{8}{3},-\tfrac{5}{3},\tfrac{13}{3}\right)

Exercícios relacionados