Encontre U^{\perp} se U=\operatorname{ger}\{(-1,1,-1)\} em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar U^{\perp}, o complemento ortogonal de U, sabendo que U=\operatorname{ger}\{(-1,1,-1)\} em \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas: o subespaço U é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor (-1,1,-1).
Pergunta: determinar todos os vetores de \mathbb{R}^{3} que são ortogonais a todo vetor de U.

Passo 2

O que significa “ortogonal” aqui? Dois vetores em \mathbb{R}^{3} são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Para vetores v=(x,y,z) e w=(a,b,c) o produto escalar é
v\cdot w = xa + yb + zc.
Neste problema nós queremos todos os vetores v=(x,y,z) tais que v seja ortogonal a qualquer vetor de U. Como U é gerado por um único vetor, basta que v seja ortogonal a esse gerador.

Passo 3

Seja o gerador u_0 = (-1,1,-1). A condição de ortogonalidade é
v\cdot u_0 = 0.
Escrevendo v=(x,y,z) e u_0=(-1,1,-1) no produto escalar, temos
(x,y,z)\cdot(-1,1,-1)=0.
Agora vamos desenvolver essa igualdade.

Passo 4

Compute o produto escalar explicitamente:
(x,y,z)\cdot(-1,1,-1) = -x + y - z.
A condição v\cdot u_0=0 vira a equação
-x + y - z = 0.
Isso é uma equação linear que relaciona as coordenadas x,y,z do vetor v.

Passo 5

Resolva a equação para parametrizar todos os vetores que satisfazem-na. Isolando y,
y = x + z.
Agora represente x e z como parâmetros livres. Seja s=x e t=z, então um vetor genérico v\in U^{\perp} é
v=(s,\;s+t,\;t).
Separe em combinação linear dos parâmetros:
v = s(1,1,0) + t(0,1,1).
Portanto todos os vetores ortogonais a u_0 formam o subespaço gerado por (1,1,0) e (0,1,1).

Passo 6

Verificações e observações pedagógicas rápidas: os vetores (1,1,0) e (0,1,1) são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), logo realmente geram um plano de dimensão 2, que é esperado porque em \mathbb{R}^{3} o complemento ortogonal de uma reta (dimensão 1) tem dimensão 2. Confirme que ambos são ortogonais ao gerador:
(-1,1,-1)\cdot(1,1,0) = -1+1+0 = 0,
(-1,1,-1)\cdot(0,1,1) = 0+1-1 = 0.
Tudo consistente: esses dois vetores pertencem a U^{\perp} e geram exatamente o conjunto solução.

Resposta

U^{\perp}=\operatorname{ger}\{(1,1,0),\,(0,1,1)\}

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