Encontre
se
em
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
, o complemento ortogonal de
, sabendo que
em
.
Informações dadas: o subespaço é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor
.
Pergunta: determinar todos os vetores de que são ortogonais a todo vetor de
.
Informações dadas: o subespaço
Pergunta: determinar todos os vetores de
Passo 2
O que significa “ortogonal” aqui? Dois vetores em
são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Para vetores
e
o produto escalar é
Neste problema nós queremos todos os vetores
tais que
seja ortogonal a qualquer vetor de
. Como
é gerado por um único vetor, basta que
seja ortogonal a esse gerador.
Passo 3
Seja o gerador
. A condição de ortogonalidade é
Escrevendo
e
no produto escalar, temos
Agora vamos desenvolver essa igualdade.
Passo 4
Compute o produto escalar explicitamente:
A condição
vira a equação
Isso é uma equação linear que relaciona as coordenadas
do vetor
.
Passo 5
Resolva a equação para parametrizar todos os vetores que satisfazem-na. Isolando
,
Agora represente
e
como parâmetros livres. Seja
e
, então um vetor genérico
é
Separe em combinação linear dos parâmetros:
Portanto todos os vetores ortogonais a
formam o subespaço gerado por
e
.
Passo 6
Verificações e observações pedagógicas rápidas: os vetores
e
são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), logo realmente geram um plano de dimensão
, que é esperado porque em
o complemento ortogonal de uma reta (dimensão
) tem dimensão
. Confirme que ambos são ortogonais ao gerador:
Tudo consistente: esses dois vetores pertencem a
e geram exatamente o conjunto solução.