Determine a projeção ortogonal de u=(2,-1,3) sobre S=\operatorname{ger}\{(1,0,1),(2,1,-2)\}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \,u=(2,-1,3)\, e o subespaço S gerado por \,(1,0,1) e (2,1,-2). Ou seja,
S=\operatorname{ger}\{(1,0,1),(2,1,-2)\}.
A tarefa é: determinar a projeção ortogonal de \,u\, sobre S.\n
Informações relevantes fornecidas:
u=(2,-1,3),\qquad v_1=(1,0,1),\qquad v_2=(2,1,-2),\qquad S=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 2

O que é projeção ortogonal sobre um subespaço gerado por vetores? Vou explicar devagarinho: queremos encontrar um vetor \,p\in S\, tal que \,u-p\, seja ortogonal a todo vetor de S. Se \,p=\alpha v_1+\beta v_2\,, então a condição de ortogonalidade dá as equações
(u-p)\cdot v_1=0,\qquad (u-p)\cdot v_2=0.
Aqui \cdot é o produto interno usual em \mathbb{R}^3: para \,a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) temos \,a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Essas duas equações formam um sistema linear para \alpha e \beta. Uma observação útil: se os vetores v_1 e v_2 forem ortogonais entre si, então as fórmulas para \alpha e \beta ficam bem simples:
\alpha=\frac{u\cdot v_1}{v_1\cdot v_1},\qquad \beta=\frac{u\cdot v_2}{v_2\cdot v_2}.
Vamos checar se \,v_1 e \,v_2 são ortogonais; se forem, usamos as fórmulas simples.

Passo 3

Calcular produtos internos necessários (tudo aqui são contas simples somando produtos de componentes):
Calcule \,v_1\cdot v_2\,:
v_1\cdot v_2 = (1)(2)+(0)(1)+(1)(-2)=2+0-2=0.
Como \,v_1\cdot v_2=0\,, os vetores são ortogonais — boa notícia, sobra simplicidade.
Calcule \,v_1\cdot v_1\, e \,v_2\cdot v_2\,:
v_1\cdot v_1 = 1^2+0^2+1^2=2,
v_2\cdot v_2 = 2^2+1^2+(-2)^2=4+1+4=9.
Calcule \,u\cdot v_1\, e \,u\cdot v_2\,:
u\cdot v_1 = 2\cdot1 + (-1)\cdot0 + 3\cdot1 = 2+0+3=5,
u\cdot v_2 = 2\cdot2 + (-1)\cdot1 + 3\cdot(-2) = 4-1-6 = -3.

Passo 4

Como v_1 e v_2 são ortogonais, aplicamos as fórmulas diretas para os coeficientes \alpha e \beta:
\alpha=\frac{u\cdot v_1}{v_1\cdot v_1}=\frac{5}{2},
\beta=\frac{u\cdot v_2}{v_2\cdot v_2}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}.
Interpretação: a projeção é \,p=\alpha v_1+\beta v_2\, com esses \alpha,\beta.

Passo 5

Agora escrevemos a projeção como combinação linear e calculamos as componentes:
p=\frac{5}{2}v_1-\frac{1}{3}v_2.
Calcule cada termo:
\frac{5}{2}v_1=\left(\frac{5}{2},0,\frac{5}{2}\right), \qquad -\frac{1}{3}v_2=\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right).
Somando componente a componente:
p=\left(\frac{5}{2}-\frac{2}{3},\;0-\frac{1}{3},\;\frac{5}{2}+\frac{2}{3}\right).
Fazendo as contas com denominador comum 6:
\frac{5}{2}-\frac{2}{3}=\frac{15-4}{6}=\frac{11}{6},
0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3},
\frac{5}{2}+\frac{2}{3}=\frac{15+4}{6}=\frac{19}{6}.
Portanto
p=\left(\frac{11}{6},-\frac{1}{3},\frac{19}{6}\right).

Passo 6

Verificação (útil para a prova): o erro u-p deve ser ortogonal a v_1 e v_2. Calcule u-p:
u-p=\left(2-\frac{11}{6},\;-1-(-\tfrac{1}{3}),\;3-\frac{19}{6}\right)=\left(\frac{1}{6},-\frac{2}{3},-\frac{1}{6}\right).
Cheque os produtos internos:
(u-p)\cdot v_1 = \frac{1}{6}\cdot1 + \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot0 + \left(-\frac{1}{6}\right)\cdot1 = \frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0,
(u-p)\cdot v_2 = \frac{1}{6}\cdot2 + \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot1 + \left(-\frac{1}{6}\right)\cdot(-2) = \frac{2}{6}-\frac{2}{3}+\frac{2}{6}= \frac{4}{6}-\frac{4}{6}=0.
Como esperado, u-p é ortogonal a ambos v_1 e v_2, logo p é a projeção ortogonal correta.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{11}{6},-\frac{1}{3},\frac{19}{6}\right)

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