Determine a projeção ortogonal de
sobre
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
gerado por
e
. Ou seja,
A tarefa é: determinar a projeção ortogonal de
sobre
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que é projeção ortogonal sobre um subespaço gerado por vetores? Vou explicar devagarinho: queremos encontrar um vetor
tal que
seja ortogonal a todo vetor de
. Se
, então a condição de ortogonalidade dá as equações
Aqui
é o produto interno usual em
: para
e
temos
. Essas duas equações formam um sistema linear para
e
. Uma observação útil: se os vetores
e
forem ortogonais entre si, então as fórmulas para
e
ficam bem simples:
Vamos checar se
e
são ortogonais; se forem, usamos as fórmulas simples.
Passo 3
Calcular produtos internos necessários (tudo aqui são contas simples somando produtos de componentes):
Calcule
:
Como
, os vetores são ortogonais — boa notícia, sobra simplicidade.
Calcule
e
:
Calcule
e
:
Passo 4
Como
e
são ortogonais, aplicamos as fórmulas diretas para os coeficientes
e
:
Interpretação: a projeção é
com esses
.
Passo 5
Agora escrevemos a projeção como combinação linear e calculamos as componentes:
Calcule cada termo:
Somando componente a componente:
Fazendo as contas com denominador comum
:
Portanto
Passo 6
Verificação (útil para a prova): o erro
deve ser ortogonal a
e
. Calcule
:
Cheque os produtos internos:
Como esperado,
é ortogonal a ambos
e
, logo
é a projeção ortogonal correta.