Um sistema discreto, linear e invariante no tempo é definido pela resposta ao impulso h(n)=[1,2,4,3,2], onde n é o tempo discreto. Considere que h(n) começa no tempo discreto n=-2. Calcule a resposta y(n) deste sistema ao sinal de entrada x(n)=[1,-1,3,1,-2,1]. Considere que o sinal x(n) começa no tempo discreto \mathrm{n}=0;

Passo 1

O enunciado descreve um sistema discreto, linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(n) = [1,2,4,3,2]
começando em n=-2. Isto é,
h(-2)=1,\;h(-1)=2,\;h(0)=4,\;h(1)=3,\;h(2)=2.
A entrada é
x(n)=[1,-1,3,1,-2,1]
com suporte em 0\le n\le5. Precisamos calcular
y(n)=x(n)*h(n).

Passo 2

Em todo sistema LTI discreto, se x(n) é não nula para n_{\min}^x\le n\le n_{\max}^x e h(n) para n_{\min}^h\le n\le n_{\max}^h, então
y(n)=x(n)*h(n)
será não nula de
n_{\min}^y = n_{\min}^x + n_{\min}^h \quad\text{até}\quad n_{\max}^y = n_{\max}^x + n_{\max}^h.é
Aqui n_{\min}^x=0, n_{\max}^x=5, n_{\min}^h=-2, n_{\max}^h=2. Logo
n_{\min}^y = -2, \quad n_{\max}^y = 7.

Passo 3

A definição de convolução discreta é
y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)\,h(n-k).
Na prática, o somatório só envolve valores de k tais que x(k) e h(n-k) sejam não nulos, ou seja 0\le k\le5 e -2\le n-k\le2.

Passo 4

Substituindo os limites do somatório e calculando para cada n de -2 até 7, obtemos
\begin{aligned} y(-2)&=x(0)\,h(-2)=1\cdot1=1,\\\ y(-1)&=x(0)\,h(-1)+x(1)\,h(-2)=1\cdot2+(-1)\cdot1=1,\\\ y(0)&=x(0)\,h(0)+x(1)\,h(-1)+x(2)\,h(-2) =1\cdot4+(-1)\cdot2+3\cdot1=5,\\\ y(1)&=1\cdot3+(-1)\cdot4+3\cdot2+1\cdot1=6,\\\ y(2)&=1\cdot2+(-1)\cdot3+3\cdot4+1\cdot2+(-2)\cdot1=11,\\\ y(3)&=(-1)\cdot2+3\cdot3+1\cdot4+(-2)\cdot2+1\cdot1=8,\\\ y(4)&=3\cdot2+1\cdot3+(-2)\cdot4+1\cdot2=3,\\\ y(5)&=1\cdot2+(-2)\cdot3+1\cdot4=0,\\\ y(6)&=(-2)\cdot2+1\cdot3=-1,\\\ y(7)&=1\cdot2=2. \end{aligned}

Resposta

A saída y(n) é não nula para -2\le n\le7 e vale
y(n) = [\,1,\,1,\,5,\,6,\,11,\,8,\,3,\,0,\,-1,\,2\,],
com índice inicial n=-2.

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