Determine se as seguintes funções são periódicas, e caso afirmativo, indique o período:
x(n)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\frac{13 \pi}{7} n+23\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal discreto
x(n)=\frac{\sqrt{2}}{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{13\pi}{7}n+23\Bigr)
e pede para verificar se ele é periódico e, em caso afirmativo, indicar o período.
O conteúdo é periodicidade de sinais discretos: um seno discreto x(n)=A\sin(\omega n+\varphi) é periódico se e somente se a frequência normalizada
\frac{\omega}{2\pi}
for um número racional \tfrac{p}{q}. Nesse caso, o período fundamental N é o menor inteiro positivo tal que
\omega N = 2\pi k
para algum inteiro k.

Passo 2

Aqui \omega=\tfrac{13\pi}{7}. Calculamos
\frac{\omega}{2\pi} = \frac{\tfrac{13\pi}{7}}{2\pi} = \frac{13}{14}\,,
que é racional com p=13 e q=14. O menor N>0 que satisfaz
\omega N = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad \frac{13\pi}{7}N = 2\pi k \;\Longrightarrow\; 13N = 14k
é obtido escolhendo k=13, o que dá N=14. A fase (o deslocamento de 23 radianos) não altera o período.

Resposta

A função é periódica e seu período fundamental é N=14.

Exercícios relacionados