Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
Passo 1
O enunciado pede para classificar o sistema discreto
quanto às propriedades de linearidade, invariância em tempo e causalidade. Vamos usar as definições básicas:
– Linearidade (superposição: aditividade e homogeneidade).
– Invariância no tempo (deslocar a entrada desloca a saída na mesma quantidade).
– Causalidade (para cada ,
só depende de valores
com
).
– Linearidade (superposição: aditividade e homogeneidade).
– Invariância no tempo (deslocar a entrada desloca a saída na mesma quantidade).
– Causalidade (para cada
Passo 2
Teste de linearidade. Seja
com resposta
e
com resposta
. Para escalares
, a entrada combinada é
então
Expandindo o quadrado:
Por outro lado,
Repare que em
aparece o termo cruzado
e o deslocamento de
não escala corretamente. Logo não vale
e o sistema não é linear.
Passo 3
Teste de invariância no tempo. Seja uma entrada deslocada
. A saída desse sinal é
Agora deslocamos a saída original
em
:
Como
o sistema não é invariante no tempo.
Passo 4
Teste de causalidade. Para cada instante
,
depende de
, ou seja, de um valor de entrada em
. Isso viola a condição de que um sistema causal não pode usar valores futuros de
. Portanto, o sistema não é causal.
Resposta
O sistema
– não é linear,
– não é invariante no tempo,
– não é causal.
– não é linear,
– não é invariante no tempo,
– não é causal.