Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
3 x^{2}-4 x+1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação quadrática
3x^{2}-4x+1=0
O que se pede: determinar quantas raízes essa equação possui (presumindo que a pergunta é sobre raízes reais).
Informações relevantes dadas: os coeficientes da equação aparecem explicitamente na forma acima.

Passo 2

Para analisar quantas raízes reais uma equação do tipo
ax^{2}+bx+c=0
possui, usamos o discriminante. Primeiro, lembre-se da fórmula quadrática que dá as soluções (raízes) de uma equação quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicando com calma:
  • a, b e c são os coeficientes da equação ( a multiplica x^{2}, b multiplica x, c é termo independente).
  • \Delta é chamado de discriminante. O sinal de \Delta determina quantas raízes reais existem:
    • Se \Delta>0, então \sqrt{\Delta} é um número real positivo, e as expressões -b\pm\sqrt{\Delta} dão duas soluções distintas: há duas raízes reais distintas.
    • Se \Delta=0, então \sqrt{\Delta}=0 e a fórmula dá uma única solução (dupla): há uma raiz real, com multiplicidade 2.
    • Se \Delta<0, então \sqrt{\Delta} é imaginário (não real), portanto não há raízes reais (existem duas raízes complexas conjugadas).

Passo 3

Identificamos os coeficientes da equação dada comparando com ax^{2}+bx+c=0:
a=3,\qquad b=-4,\qquad c=1.

Passo 4

Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot 3\cdot 1 = 16-12=4.
Observe que \Delta=4>0.

Passo 5

Interpretação do valor de \Delta: como \Delta>0, isso implica que a equação tem duas raízes reais distintas (pela regra explicada no Passo 2).

Passo 6

Se quiser também encontrar as raízes para confirmar, aplicamos a fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{4}}{2\cdot 3}=\frac{4\pm 2}{6}.
Isso gera as duas soluções:
x_{1}=\frac{4+2}{6}=\frac{6}{6}=1, \qquad x_{2}=\frac{4-2}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Portanto são duas raízes reais distintas e concretas: x=1 e x=\tfrac{1}{3}.

Resposta

Duas raízes reais distintas: x=1 e x=\tfrac{1}{3}

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