Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação quadrática
O que se pede: determinar quantas raízes essa equação possui (presumindo que a pergunta é sobre raízes reais).
Informações relevantes dadas: os coeficientes da equação aparecem explicitamente na forma acima.
Informações relevantes dadas: os coeficientes da equação aparecem explicitamente na forma acima.
Passo 2
Para analisar quantas raízes reais uma equação do tipo
possui, usamos o discriminante. Primeiro, lembre-se da fórmula quadrática que dá as soluções (raízes) de uma equação quadrática:
onde
Explicando com calma:
-
, e são os coeficientes da equação ( multiplica , multiplica , é termo independente). -
é chamado de discriminante. O sinal de determina quantas raízes reais existem: - Se
, então é um número real positivo, e as expressões dão duas soluções distintas: há duas raízes reais distintas. - Se
, então e a fórmula dá uma única solução (dupla): há uma raiz real, com multiplicidade 2. - Se
, então é imaginário (não real), portanto não há raízes reais (existem duas raízes complexas conjugadas).
- Se
Passo 3
Identificamos os coeficientes da equação dada comparando com
:
Passo 4
Calculamos o discriminante
:
Observe que
.
Passo 5
Interpretação do valor de
: como
, isso implica que a equação tem duas raízes reais distintas (pela regra explicada no Passo 2).
Passo 6
Se quiser também encontrar as raízes para confirmar, aplicamos a fórmula quadrática:
Isso gera as duas soluções:
Portanto são duas raízes reais distintas e concretas:
e
.
Resposta
Duas raízes reais distintas:
e