Determine para que valores de
as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede: determinar para quais valores de
essa equação possui ao menos uma raiz (interpreto como pelo menos uma raiz real). Informação relevante extraída do enunciado:
- Os coeficientes, vistos como
, são , e . - A pergunta é: para quais
existe pelo menos uma solução real .
Passo 2
Ferramenta principal (aquela que sempre usamos em quadráticas): a fórmula de Bhaskara e o discriminante. Para uma equação quadrática geral
as soluções (quando existem) são dadas por
onde o discriminante
é
Explicando devagar:
,
e
são os coeficientes do polinômio;
indica se a raiz é real ou não:
- se
há duas raízes reais distintas; - se
há uma raiz real dupla (uma única solução real); - se
não há raízes reais (as raízes são complexas).
Como a pergunta pede “ao menos uma raiz real”, a condição que queremos é
Passo 3
Aplicar isso à nossa equação. Identificamos
,
,
. Calculamos o discriminante:
Podemos fatorar:
Passo 4
Impor a condição de existência de raiz real:
Dividindo por
(positivo, logo a desigualdade não se inverte),
Portanto, para todo
maior ou igual a
a equação tem pelo menos uma raiz real. Quando
temos exatamente uma raiz real dupla; quando
temos duas raízes reais distintas.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
, a equação fica . Multiplicando por dá , que é , então a raiz é (dupla). - Se
, e existem duas raízes reais (pode-se calcular pela fórmula, se quiser).