Determine quanto tempo será necessário para que seja obtida uma concentração de 0,8 \% \mathrm{C} a uma distância de 0,5 \mathrm{~mm} da superfície de uma peça de aço com 0,25 \% \mathrm{C}. A concentração do meio é de 1,20 \% \mathrm{C} e a temperatura de tratamento é de 950^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{D}=1,6 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
Tabela de função erro Gaussiana
z erf (z) z erf (z) Z erf (z)
0 0 0,55 0,5633 1,3 0,9340
0,025 0,0282 0,60 0,6039 1,4 0,9523
0,05 0,0564 0,65 0,6420 1,5 0,9661
0,10 0,1125 0,70 0,6778 1,6 0,9763
0,15 0,1680 0,75 0,7112 1,7 0,9838
0,20 0,2227 0,80 0,7421 1,8 0,9891
0,25 0,2763 0,85 0,7707 1,9 0,9928
0,30 0,3286 0,90 0,7970 2,0 0,9953
0,35 0,3794 0,95 0,8209 2,2 0,9951
0,40 0,4284 1,0 0,8427 2,4 0,9993
0,45 0,4755 1,1 0,8802 2,6 0,9998
0,50 0,5205 1,2 0,9103 2,8 0,9999

Passo 1

O enunciado descreve difusão de carbono numa peça de aço semi-infinita. A peça tem concentração inicial \,C_{0}=0,25\% e está em contato, na superfície, com um banho de concentração constante C_{s}=1,20\%. Queremos saber o tempo necessário para que, a uma profundidade x=0,5\text{ mm}, a concentração chegue em C=0,8\%. A temperatura de 950^\circ\text{C} já está implícita no coeficiente de difusão D=1,6\times10^{-11}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Vamos usar a solução com função erro para difusão num semi-espaço.

Passo 2

A solução para a concentração em x e t é
\frac{C(x,t)-C_{0}}{C_{s}-C_{0}} =\mathrm{erf}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr).
Definindo
z \equiv \frac{x}{2\sqrt{D\,t}},
temos
\mathrm{erf}(z) =\frac{C-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}.

Passo 3

Calculamos a fração adimensional:
\frac{C-C_{0}}{C_{s}-C_{0}} =\frac{0,80-0,25}{1,20-0,25} =\frac{0,55}{0,95}\approx0,5789.
Logo precisamos de z tal que \mathrm{erf}(z)\approx0,5789.

Passo 4

Pela tabela de \mathrm{erf}(z):
\mathrm{erf}(0,55)=0,5633, \quad \mathrm{erf}(0,60)=0,6039.
Interpolando linearmente para atingir 0,5789:
z\approx0,55+\frac{0,5789-0,5633}{0,6039-0,5633}\times(0,60-0,55) \approx0,55+\frac{0,0156}{0,0406}\times0,05 \approx0,569\approx0,57.

Passo 5

Da definição de z,
z=\frac{x}{2\sqrt{D\,t}} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{x^{2}}{4D\,z^{2}}.
Substituindo x=0,5\text{ mm}=5{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m}, D=1,6\times10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} e z=0,57:
t =\frac{(5{,}0\times10^{-4})^{2}} {4\,(1,6\times10^{-11})\,(0,57)^{2}} =\frac{2,5\times10^{-7}} {4\cdot1,6\times10^{-11}\cdot0,3249} \approx1{,}2\times10^{4}\,\mathrm{s}.

Passo 6

Convertendo para horas:
t\approx\frac{1,2\times10^{4}}{3600}\approx3{,}3\\ \text{h}\quad(\approx3\text{ h }20\text{ min}).

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 3{,}3 horas.

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