Determine quanto tempo será necessário para que seja obtida uma concentração de 0,7 \% \mathrm{C} a uma distância de 0,5 \mathrm{~mm} da superfície de uma peça de aço com 0,35 \% \mathrm{C}. A concentração do meio é de 1,10 \% \mathrm{C} e a temperatura de tratamento é de 950^{\circ} \mathrm{C}. D =1,6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que precisa ser encontrado (peguei todos os números do enunciado):
  • Profundidade onde se quer a concentração: x=0,5\\ \mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Concentração inicial na peça (no interior): C_i=0,35\\ \%.
  • Concentração na superfície (meio): C_s=1,10\\ \%.
  • Concentração desejada a x: C(x,t)=0,7\\ \%.
  • Difusividade a 950^\circ\mathrm{C}: D=1{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
O enunciado pede: determinar o tempo t necessário para que, a uma distância x da superfície, a concentração atinja 0,7\\ \%.

Passo 2

Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando temos uma peça suficientemente espessa tratada por um banho com concentração constante na superfície (caso típico de cementação/carburização com banho de concentração fixa), a aproximação apropriada é a de um semi-espaço infinito com concentração de superfície constante. A solução da equação da difusão de Fick para esse caso, assumindo concentração inicial uniforme C_i no interior e C_s constante na superfície x=0, é:
C(x,t)=C_s - (C_s-C_i)\,\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
Explicando cada termo:
  • C(x,t) é a concentração (em %) no ponto x após tempo t.
  • C_s é a concentração fixa na superfície (em %).
  • C_i é a concentração inicial da peça (em %).
  • D é a difusividade (em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
  • \operatorname{erf}(\cdot) é a função erro (error function), uma função padrão na teoria da difusão que sai de integrais gaussianas. Para nossos propósitos práticos, vamos apenas usar seu valor e a inversa numérica.
Observação prática: as unidades de concentração (por ex. %) aparecem só em diferenças (C_s-C_i) então podemos usar os números percentuais diretamente (as unidades se cancelam).

Passo 3

Isolar a função erro e preparar para achar o argumento.
Das equações, isolamos a função erro:
\frac{C_s - C(x,t)}{C_s - C_i} = \operatorname{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
Chamando o lado esquerdo de E, temos \operatorname{erf}(z)=E com z=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}. Para obter t precisamos achar z=\operatorname{erf}^{-1}(E) e depois inverter para t:
t=\frac{x^2}{4D z^2}.

Passo 4

Calcular numericamente o argumento da \operatorname{erf} (o valor E) usando os números dados.
E=\frac{C_s-C(x,t)}{C_s-C_i}=\frac{1{,}10-0{,}70}{1{,}10-0{,}35}=\frac{0{,}40}{0{,}75}=0{,}533333\ldots
Portanto precisamos do z tal que \operatorname{erf}(z)=0{,}533333\ldots.

Passo 5

Encontrar z=\operatorname{erf}^{-1}(0{,}533333) por aproximação (método prático sem tabela exata).
A função erro tem valor conhecido em alguns pontos: por exemplo \operatorname{erf}(0{,}50)=0{,}5204999\ldots. A derivada é
\frac{d}{dz}\operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2},
que nos permite fazer uma aproximação linear (primeira ordem) perto de z=0{,}50. Avaliando a derivada em z\approx0{,}50:
\frac{2}{\sqrt{\pi}}\approx1{,}128379,\qquad e^{-0{,}50^2}=e^{-0{,}25}\approx0{,}7788008,
\Rightarrow \left.\frac{d}{dz}\operatorname{erf}(z)\right|_{0{,}50}\approx1{,}128379\times0{,}7788008\approx0{,}878.
Queremos um incremento de \Delta \operatorname{erf}=0{,}533333-0{,}5204999\approx0{,}012833. Usando a linearização \Delta z\approx\Delta\operatorname{erf}/(\operatorname{erf}'(0{,}50)):
\Delta z\approx\frac{0{,}012833}{0{,}878}\approx0{,}0146.
Logo
z\approx0{,}50+0{,}0146\approx0{,}5146\approx0{,}515.
(Se disponível, pode-se refinar com tabela ou calculadora: a aproximação z\approx0{,}515 \operatorname{erf}(0{,}515)\approx0{,}5333, compatível com o valor desejado.)

Passo 6

Calcular o tempo t usando z encontrado.
A fórmula é
t=\frac{x^2}{4D z^2}.
Substituindo os valores (lembre que x=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, D=1{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, z\approx0{,}515):
Calcule x^2:
x^2=(5{,}0\times10^{-4})^2=2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
Calcule 4D z^2:
z^2\approx(0{,}515)^2=0{,}265225,
4D z^2 = 4\times(1{,}6\times10^{-10})\times0{,}265225 =6{,}4\times10^{-10}\times0{,}265225\approx1{,}69744\times10^{-10}.
Agora o tempo:
t=\frac{2{,}5\times10^{-7}}{1{,}69744\times10^{-10}} \approx1{,}4729\times10^{3}\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Converter o resultado para unidades mais usuais e checar ordem de grandeza.
t\approx1{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx\frac{1{,}4729\times10^{3}}{60}\\ \mathrm{min}\approx24{,}55\\ \mathrm{min}.
Isso significa algo como 24 minutos e 33 segundos (aproximadamente). A ordem de grandeza (algumas dezenas de minutos) faz sentido para uma difusividade pequena como dada a 950^\circ\mathrm{C}.

Resposta

t\approx1{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx24{,}6\\ \mathrm{min}

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