Determine quanto tempo será necessário para que seja obtida uma concentração de 0,7 \% \mathrm{C} a uma distância de 0,5 \mathrm{~mm} da superfície de uma peça de aço com 0,35 \% \mathrm{C}. A concentração do meio é de 1,10 \% \mathrm{C} e a temperatura de tratamento é de 950^{\circ} \mathrm{C}. D =1,6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que precisa ser encontrado (peguei todos os números do enunciado):
Profundidade onde se quer a concentração: x=0,5\\ \mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Concentração inicial na peça (no interior): C_i=0,35\\ \%.
Concentração na superfície (meio): C_s=1,10\\ \%.
Concentração desejada a x: C(x,t)=0,7\\ \%.
Difusividade a 950^\circ\mathrm{C}: D=1{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
O enunciado pede: determinar o tempo t necessário para que, a uma distância x da superfície, a concentração atinja 0,7\\ \%.
Passo 2
Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando temos uma peça suficientemente espessa tratada por um banho com concentração constante na superfície (caso típico de cementação/carburização com banho de concentração fixa), a aproximação apropriada é a de um semi-espaço infinito com concentração de superfície constante. A solução da equação da difusão de Fick para esse caso, assumindo concentração inicial uniforme C_i no interior e C_s constante na superfície x=0, é:
C(x,t) é a concentração (em %) no ponto x após tempo t.
C_s é a concentração fixa na superfície (em %).
C_i é a concentração inicial da peça (em %).
D é a difusividade (em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
\operatorname{erf}(\cdot) é a função erro (error function), uma função padrão na teoria da difusão que sai de integrais gaussianas. Para nossos propósitos práticos, vamos apenas usar seu valor e a inversa numérica.
Observação prática: as unidades de concentração (por ex. %) aparecem só em diferenças (C_s-C_i) então podemos usar os números percentuais diretamente (as unidades se cancelam).
Passo 3
Isolar a função erro e preparar para achar o argumento.
Chamando o lado esquerdo de E, temos \operatorname{erf}(z)=E com z=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}. Para obter t precisamos achar z=\operatorname{erf}^{-1}(E) e depois inverter para t:
t=\frac{x^2}{4D z^2}.
Passo 4
Calcular numericamente o argumento da \operatorname{erf} (o valor E) usando os números dados.
Queremos um incremento de \Delta \operatorname{erf}=0{,}533333-0{,}5204999\approx0{,}012833. Usando a linearização \Delta z\approx\Delta\operatorname{erf}/(\operatorname{erf}'(0{,}50)):
(Se disponível, pode-se refinar com tabela ou calculadora: a aproximação z\approx0{,}515 dá \operatorname{erf}(0{,}515)\approx0{,}5333, compatível com o valor desejado.)
Passo 6
Calcular o tempo t usando z encontrado.
A fórmula é
t=\frac{x^2}{4D z^2}.
Substituindo os valores (lembre que x=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, D=1{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, z\approx0{,}515):
Isso significa algo como 24 minutos e 33 segundos (aproximadamente). A ordem de grandeza (algumas dezenas de minutos) faz sentido para uma difusividade pequena como dada a 950^\circ\mathrm{C}.