Determine a quarta derivada de cada função dada abaixo:
f(x)=9 \cos x

Passo 1

O enunciado pede a quarta derivada de f(x)=9\cos x. O conteúdo envolvido é a derivação de funções trigonométricas, usando as regras básicas
de \frac{d}{dx}\cos x e \frac{d}{dx}\sin x.

Passo 2

Lembramos que
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x
e
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x.

Passo 3

Aplicando a regra de derivação para obter as duas primeiras derivadas:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(9\cos x\bigr) = 9 \cdot (-\sin x) = -9\sin x,
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-9\sin x\bigr) = -9\cos x.

Passo 4

Derivando mais duas vezes para chegar à quarta derivada:
f'''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-9\cos x\bigr) = 9\sin x,
f''''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(9\sin x\bigr) = 9\cos x.

Resposta

A quarta derivada é
f^{(4)}(x) = 9\cos x.

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