Determine a quarta derivada de cada função dada abaixo:
f(x)=-2 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a quarta derivada da função
f(x) = -2\sin x.
O conteúdo aqui é a derivação de funções trigonométricas básicas, usando
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x e
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.

Passo 2

Para obter as derivadas primeira e segunda, aplicamos as regras acima:
f'(x) = -2\cos x,\quad f''(x) = 2\sin x.

Passo 3

Continuando, calculamos a terceira e a quarta derivadas:
f'''(x) = 2\cos x,\quad f^{(4)}(x) = -2\sin x.
Note que a quarta derivada coincide com a função original, pois as derivadas de \sin x são periódicas de ordem 4.

Resposta

f^{(4)}(x) = -2\sin x.

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