Calcule as transformadas de Laplace usando a definição ou as propriedades.
f(t)=2 t^{2}+5 \operatorname{sen}(3 t);

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=2\,t^{2}+5\,\sin(3t).
O conteúdo principal envolvido é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas
\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}} e
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Pela linearidade,
\mathcal{L}\{f(t)\} =2\,\mathcal{L}\{t^{2}\}+5\,\mathcal{L}\{\sin(3t)\}.
Sabemos que
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}\quad(s>0).

Passo 3

Também sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^{2}+3^{2}} =\frac{3}{s^{2}+9}\quad(s>0).
Logo,
2\,\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{4}{s^{3}}, \qquad 5\,\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{15}{s^{2}+9}.

Passo 4

Somando os termos, obtemos
F(s)=\frac{4}{s^{3}}+\frac{15}{s^{2}+9}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{4}{s^{3}}+\frac{15}{s^{2}+9},\quad s>0.

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