Determine qual dos quatro axiomas de produto interno não é verdadeiro. Dê um exemplo em cada caso.
Sejam
e
em
. Defina
.
Sejam
e
em
Passo 1
O enunciado dá a regra
para quaisquer
e
em
.
Ele pede: determinar qual dos quatro axiomas de produto interno não é verdadeiro para essa definição e dar exemplos (isto é, mostrar por exemplo que cada axioma é satisfeito ou, se não for, fornecer um contraexemplo).
Ele pede: determinar qual dos quatro axiomas de produto interno não é verdadeiro para essa definição e dar exemplos (isto é, mostrar por exemplo que cada axioma é satisfeito ou, se não for, fornecer um contraexemplo).
Passo 2
Vou escrever claramente os quatro axiomas (na convenção usual em espaços reais, linearidade na primeira entrada):
- Simetria: para todos
vale . - Aditividade na primeira entrada: para todos
vale . - Homogeneidade na primeira entrada: para todo escalar
e vetores vale . - Positividade definida: para todo
tem e se, e somente se, .
Explicação curta do que cada uma exige:
- Simetria: trocar os papéis de
e não altera o produto. - Aditividade e homogeneidade: juntos dão linearidade na primeira entrada (poder de distribuir soma e fator constante).
- Positividade definida: o produto de um vetor por si mesmo deve ser não negativo e só zerar para o vetor nulo — é o que permite definir norma e ângulo.
Passo 3
Verificação da simetria (axioma 1). Usando a definição,
Trocando
por
obtemos
Como
, segue que
para todos os vetores: o axioma da simetria é satisfeito. Exemplo numérico: se
e
, então
e
.
Passo 4
Verificação da aditividade na primeira entrada (axioma 2). Seja
quaisquer. Então
Portanto a aditividade vale. Exemplo numérico:
dá
e
.
Passo 5
Verificação da homogeneidade na primeira entrada (axioma 3). Para escalar
e vetores
,
Logo a homogeneidade vale. Exemplo numérico: com
,
e
, tem
e
.
Passo 6
Análise da positividade definida (axioma 4). Calculemos
portanto a parte
é satisfeita. Porém a segunda exigência — que
implique
— pode falhar: se escolhermos
então
mas
. Assim existe vetor não-nulo com produto por si mesmo igual a zero, o que viola a parte “se, e somente se” do axioma. Conclusão: a propriedade de positividade definida (em particular a unicidade do vetor nulo a partir de
) não vale para essa definição.
Passo 7
Interpretação final e observação prática: todos os axiomas lineares e de simetria são satisfeitos, e
também. O único ponto que falha é a identificação do vetor nulo a partir de
. Por isso a forma bilinear dada não é um produto interno em
porque não é positiva definida estritamente. Um jeito de transformar isso em um produto interno válido seria restringir a definição a subespaços onde a primeira coordenada determina o vetor (por exemplo o subespaço
), mas isso muda o espaço considerado.
Resposta
O axioma que não é verdadeiro é o da positividade definida (parte “se, e somente se”); contraexemplo:
satisfaz
com
.