Determine qual dos quatro axiomas de produto interno não é verdadeiro. Dê um exemplo em cada caso.
Sejam
\mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}u_{1} \\\ u_{2}\end{array}\right]
e \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}v_{1} \\\ v_{2}\end{array}\right]
em \mathbb{R}^{2}. Defina \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=u_{1} v_{1}.

Passo 1

O enunciado dá a regra
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = u_{1}v_{1}
para quaisquer \mathbf{u}=\begin{bmatrix}u_{1}\u_{2}\end{bmatrix} e \mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_{1}\v_{2}\end{bmatrix} em \mathbb{R}^{2}.
Ele pede: determinar qual dos quatro axiomas de produto interno não é verdadeiro para essa definição e dar exemplos (isto é, mostrar por exemplo que cada axioma é satisfeito ou, se não for, fornecer um contraexemplo).

Passo 2

Vou escrever claramente os quatro axiomas (na convenção usual em espaços reais, linearidade na primeira entrada):
  1. Simetria: para todos \mathbf{u},\mathbf{v} vale \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle.
  2. Aditividade na primeira entrada: para todos \mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v} vale \langle\mathbf{u}+\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle.
  3. Homogeneidade na primeira entrada: para todo escalar c e vetores \mathbf{u},\mathbf{v} vale \langle c\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = c\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle.
  4. Positividade definida: para todo \mathbf{v} tem \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle\ge 0 e \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0 se, e somente se, \mathbf{v}=\mathbf{0}.
Explicação curta do que cada uma exige:
  • Simetria: trocar os papéis de \mathbf{u} e \mathbf{v} não altera o produto.
  • Aditividade e homogeneidade: juntos dão linearidade na primeira entrada (poder de distribuir soma e fator constante).
  • Positividade definida: o produto de um vetor por si mesmo deve ser não negativo e só zerar para o vetor nulo — é o que permite definir norma e ângulo.

Passo 3

Verificação da simetria (axioma 1). Usando a definição,
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = u_{1}v_{1}.
Trocando \mathbf{u} por \mathbf{v} obtemos
\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle = v_{1}u_{1}.
Como u_{1}v_{1}=v_{1}u_{1}, segue que \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle para todos os vetores: o axioma da simetria é satisfeito. Exemplo numérico: se \mathbf{u}=(1,2) e \mathbf{v}=(3,4), então \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=1\cdot 3=3 e \langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle=3\cdot1=3.

Passo 4

Verificação da aditividade na primeira entrada (axioma 2). Seja \mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v} quaisquer. Então
\langle\mathbf{u}+\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle = (u_{1}+w_{1})v_{1} = u_{1}v_{1}+w_{1}v_{1} = \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle.
Portanto a aditividade vale. Exemplo numérico: \mathbf{u}=(1,0),\\ \mathbf{w}=(2,5),\\ \mathbf{v}=(3,7) \langle\mathbf{u}+\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle=(1+2)\cdot 3=9 e \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle=1\cdot3+2\cdot3=9.

Passo 5

Verificação da homogeneidade na primeira entrada (axioma 3). Para escalar c e vetores \mathbf{u},\mathbf{v},
\langle c\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = (c u_{1})v_{1} = c(u_{1}v_{1}) = c\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle.
Logo a homogeneidade vale. Exemplo numérico: com c=2, \mathbf{u}=(1,4) e \mathbf{v}=(3,0), tem \langle 2\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=(2\cdot1)\cdot3=6 e 2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=2\cdot(1\cdot3)=6.

Passo 6

Análise da positividade definida (axioma 4). Calculemos
\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = v_{1}v_{1} = v_{1}^{2}\ge 0,
portanto a parte \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle\ge 0 é satisfeita. Porém a segunda exigência — que \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0 implique \mathbf{v}=\mathbf{0} — pode falhar: se escolhermos
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix},
então \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0^{2}=0 mas \mathbf{v}\neq\mathbf{0}. Assim existe vetor não-nulo com produto por si mesmo igual a zero, o que viola a parte “se, e somente se” do axioma. Conclusão: a propriedade de positividade definida (em particular a unicidade do vetor nulo a partir de \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0) não vale para essa definição.

Passo 7

Interpretação final e observação prática: todos os axiomas lineares e de simetria são satisfeitos, e \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle\ge0 também. O único ponto que falha é a identificação do vetor nulo a partir de \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0. Por isso a forma bilinear dada não é um produto interno em \mathbb{R}^{2} porque não é positiva definida estritamente. Um jeito de transformar isso em um produto interno válido seria restringir a definição a subespaços onde a primeira coordenada determina o vetor (por exemplo o subespaço \{(x,0)\}), mas isso muda o espaço considerado.

Resposta

O axioma que não é verdadeiro é o da positividade definida (parte “se, e somente se”); contraexemplo: \mathbf{v}=\begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix} satisfaz \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0 com \mathbf{v}\neq\mathbf{0}.

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