Determine qual dos quatro axiomas de produto interno não é verdadeiro. Dê um exemplo em cada caso.
\operatorname{Em} M_{22}, defina \langle A, B\rangle=\operatorname{det}(A B).

Passo 1

O enunciado: no espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 com coeficientes reais) define uma aplicação
\langle A,B\rangle=\det(AB).
A tarefa é verificar quais dos quatro axiomas de produto interno não são válidos e dar um exemplo em cada caso.
Vou trabalhar com a lista usual de quatro axiomas (para espaços reais), enumerados assim:
  1. (Simetria) \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle para todos A,B.
  2. (Aditividade na primeira coordenada) \langle A+C,B\rangle=\langle A,B\rangle+\langle C,B\rangle para todos A,B,C.
  3. (Homogeneidade/scalar) \langle \alpha A,B\rangle=\alpha\langle A,B\rangle para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo A,B.
  4. (Positividade definida) \langle A,A\rangle\ge 0 para todo A, e \langle A,A\rangle=0 se e somente se A=0.
As informações relevantes dadas são: a definição \langle A,B\rangle=\det(AB) e que estamos em M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Observação útil sobre determinante (fórmula que vou usar várias vezes):
Para matrizes 2\times2 vale a identidade
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Além disso, para qualquer escalar \alpha e A\in M_{2\times2},
\det(\alpha A)=\alpha^{2}\det(A),
pois fatorar \alpha de cada linha dá \alpha^2 para a determinante de uma 2\times2.
Usando \det(AB)=\det(A)\det(B), podemos reescrever a forma dada como
\langle A,B\rangle=\det(A)\det(B).
Essa expressão vai facilitar os testes dos axiomas.

Passo 3

Explicação do que o axioma pede: simetria exige que trocar os argumentos não altere o valor do produto interno.
Cálculo:
\langle A,B\rangle=\det(A)\det(B)=\det(B)\det(A)=\langle B,A\rangle.
Conclusão: o axioma da simetria é satisfeito por esta forma.

Passo 4

O que o axioma pede: para quaisquer A,C,B,
\langle A+C,B\rangle \stackrel{?}{=} \langle A,B\rangle+\langle C,B\rangle.
Usando a expressão \langle X,Y\rangle=\det(X)\det(Y), a igualdade implicaria
\det(A+C)\det(B)\stackrel{?}{=}\det(A)\det(B)+\det\text{(C)}\det(B),
ou, se \det(B)\neq 0,
\det(A+C)\stackrel{?}{=}\det(A)+\det\text{(C)}.
Mas, em geral, \det não é aditivo: \det(A+C)\neq\det(A)+\det\text{(C)} em geral.
Contraexemplo explícito (detalhar contas passo a passo):
Escolha
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calculos:
\det(A)=0,\quad \det\text{(C)}=0,\quad \det(B)=1.
Então
\langle A,B\rangle+\langle C,B\rangle=\det(A)\det(B)+\det\text{(C)}\det(B)=0+0=0.
Por outro lado
A+C=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I, \quad\text{logo}\quad \langle A+C,B\rangle=\det(I)\det(I)=1\cdot 1=1.
Portanto \langle A+C,B\rangle\neq\langle A,B\rangle+\langle C,B\rangle. Assim o axioma da aditividade falha.]

Passo 5

O que o axioma pede: para todo \alpha\in\mathbb{R} e A,B,
\langle \alpha A,B\rangle \stackrel{?}{=} \alpha\langle A,B\rangle.
Usando \langle X,Y\rangle=\det(X)\det(Y) e \det(\alpha A)=\alpha^2\det(A), obtemos
\langle \alpha A,B\rangle=\det(\alpha A)\det(B)=\alpha^{2}\det(A)\det(B).
Comparando com \alpha\langle A,B\rangle=\alpha\det(A)\det(B), vemos que a igualdade exigiria \alpha^{2}=\alpha para todo \alpha, o que não é verdade.
Contraexemplo explícito:
Escolha \alpha=2, A=I, B=I. Então
\langle 2I,I\rangle=\det(2I)\det(I)=(2^{2}\det(I))\cdot 1=4,
enquanto
2\langle I,I\rangle=2\cdot\det(I)\det(I)=2\cdot1\cdot1=2.
Logo \langle 2I,I\rangle\neq 2\langle I,I\rangle. Portanto o axioma da homogeneidade falha.

Passo 6

O que o axioma pede: para todo A, \langle A,A\rangle\ge 0 e além disso \langle A,A\rangle=0 se e somente se A=0.
Calculo geral:
\langle A,A\rangle=\det(A A)=\det(A)^{2}\ge 0,
portanto a parte da não-negatividade é satisfeita: sempre é maior ou igual a zero.
No entanto, \langle A,A\rangle=0 ocorre sempre que \det(A)=0, ou seja, sempre que A for singular. Há muitas matrizes singulares que são não nulas; portanto não vale a implicação "se \langle A,A\rangle=0 então A=0". Logo a forma não é definida positiva.
Contraexemplo explícito:
Considere
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
que é uma matriz não nula. Calcula-se
\langle A,A\rangle=\det(A)^{2}=0^{2}=0,
mas A\neq 0. Assim a condição \langle A,A\rangle=0\iff A=0 falha; o axioma de positividade definida não é satisfeito.]

Passo 7

Resumo do que foi verificado:
  • Simetria (Axioma 1): satisfeita.
  • Aditividade na primeira coordenada (Axioma 2): não satisfeita (contraexemplo fornecido).
  • Homogeneidade em escala (Axioma 3): não satisfeita (contraexemplo fornecido).
  • Positividade definida (Axioma 4): não satisfeita — a forma é apenas semidefinida positiva ( \langle A,A\rangle=\det(A)^2\ge0) mas não é definida positiva.

Resposta

Axioma 2 (aditividade) não é verdadeiro.
Axioma 3 (homogeneidade em relação ao escalar) não é verdadeiro.
Axioma 4 (positividade definida: \langle A,A\rangle=0 sse A=0) não é verdadeiro.

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