Determine qual dos quatro axiomas de produto interno não é verdadeiro. Dê um exemplo em cada caso.
, defina
.
Passo 1
O enunciado: no espaço vetorial
(matrizes
com coeficientes reais) define uma aplicação
A tarefa é verificar quais dos quatro axiomas de produto interno não são válidos e dar um exemplo em cada caso.
Vou trabalhar com a lista usual de quatro axiomas (para espaços reais), enumerados assim:
- (Simetria)
para todos . - (Aditividade na primeira coordenada)
para todos . - (Homogeneidade/scalar)
para todo e todo . - (Positividade definida)
para todo , e se e somente se .
As informações relevantes dadas são: a definição
e que estamos em
.
Passo 2
Observação útil sobre determinante (fórmula que vou usar várias vezes):
Para matrizes
vale a identidade
Além disso, para qualquer escalar
e
,
pois fatorar
de cada linha dá
para a determinante de uma
.
Usando
, podemos reescrever a forma dada como
Essa expressão vai facilitar os testes dos axiomas.
Passo 3
Explicação do que o axioma pede: simetria exige que trocar os argumentos não altere o valor do produto interno.
Cálculo:
Conclusão: o axioma da simetria é satisfeito por esta forma.
Passo 4
O que o axioma pede: para quaisquer
,
Usando a expressão
, a igualdade implicaria
ou, se
,
Mas, em geral,
não é aditivo:
em geral.
Contraexemplo explícito (detalhar contas passo a passo):
Escolha
Escolha
Calculos:
Então
Por outro lado
Portanto
. Assim o axioma da aditividade falha.]
Passo 5
O que o axioma pede: para todo
e
,
Usando
e
, obtemos
Comparando com
, vemos que a igualdade exigiria
para todo
, o que não é verdade.
Contraexemplo explícito:
Escolha ,
,
. Então
Escolha
enquanto
Logo
. Portanto o axioma da homogeneidade falha.
Passo 6
O que o axioma pede: para todo
,
e além disso
se e somente se
.
Calculo geral:
portanto a parte da não-negatividade é satisfeita: sempre é maior ou igual a zero.
No entanto,
ocorre sempre que
, ou seja, sempre que
for singular. Há muitas matrizes singulares que são não nulas; portanto não vale a implicação "se
então
". Logo a forma não é definida positiva.
Contraexemplo explícito:
Considere
Considere
que é uma matriz não nula. Calcula-se
mas
. Assim a condição
falha; o axioma de positividade definida não é satisfeito.]
Passo 7
Resumo do que foi verificado:
- Simetria (Axioma 1): satisfeita.
- Aditividade na primeira coordenada (Axioma 2): não satisfeita (contraexemplo fornecido).
- Homogeneidade em escala (Axioma 3): não satisfeita (contraexemplo fornecido).
- Positividade definida (Axioma 4): não satisfeita — a forma é apenas semidefinida positiva (
) mas não é definida positiva.
Resposta
Axioma 2 (aditividade) não é verdadeiro.
Axioma 3 (homogeneidade em relação ao escalar) não é verdadeiro.
Axioma 4 (positividade definida: sse
) não é verdadeiro.
Axioma 3 (homogeneidade em relação ao escalar) não é verdadeiro.
Axioma 4 (positividade definida: