Utilize a Segunda Fórmula de De Moivre para encontrar todas as soluções complexas da equação
.
Passo 1
O enunciado pede todas as soluções complexas da equação
. Isso é equivalente a encontrar todos os complexos
tais que
Informações dadas:
- A equação é polinomial de grau
. - O lado direito
é um número real e positivo.
O que se pede: listar todos os seis valores complexosque satisfazem .
Passo 2
Apresentando a ferramenta: a Segunda Fórmula de De Moivre (ou fórmula das raízes n-ésimas). Ela diz o seguinte.
Seja um número complexo
escrito em forma polar como
, com
e
um argumento de
. As
raízes n-ésimas de
, ou seja, as soluções
de
, são dadas por
Explicando cada parte:
-
é o módulo de (distância ao origem). -
é um argumento de (um ângulo tal que ); note que pode ser substituído por sem mudar . -
é a raiz real positiva do módulo (é o módulo de cada raiz ). - O índice
gera as raízes distintas pelo acréscimo de antes de dividir por .
Motivação curta (intuição): seentão . Igualando módulo e argumento com obtemos e , daí a fórmula acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Aqui
. Escrevendo em forma polar:
- O módulo é
. - Um argumento conveniente é
(porque é real e positivo), lembrando que poderíamos usar .
Tomando, a raiz do módulo é
Os argumentos das raízes são
Portanto todas as soluções em forma trigonométrica/exponencial são
Passo 4
Converter cada
para a forma
(retangular), usando valores conhecidos de cosseno e seno para múltiplos de
.
-
Para
: . Logo -
Para
: . Logo -
Para
: . Logo -
Para
: . Logo -
Para
: . Logo -
Para
: . Logo
Observação rápida: são exatamente seis raízes distintas, distribuídas uniformemente no círculo de raio
no plano complexo (vértices de um hexágono regular).
Passo 5
Resumo prático para provar na prova (passo-a-passo curto que dá ponto):
- Reescrever
como . - Aplicar a fórmula das raízes:
. - Calcular
e listar para obter os seis argumentos . - Converter em forma
se pedirem valores explícitos.