Utilize a Segunda Fórmula de De Moivre para encontrar todas as soluções complexas da equação w^{6}-64=0.

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções complexas da equação \,w^{6}-64=0\,. Isso é equivalente a encontrar todos os complexos w tais que
w^{6}=64.
Informações dadas:
  • A equação é polinomial de grau 6.
  • O lado direito 64 é um número real e positivo.
    O que se pede: listar todos os seis valores complexos w que satisfazem w^{6}=64.

Passo 2

Apresentando a ferramenta: a Segunda Fórmula de De Moivre (ou fórmula das raízes n-ésimas). Ela diz o seguinte.
Seja um número complexo z escrito em forma polar como z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)=r e^{i\theta}, com r\ge0 e \theta um argumento de z. As n raízes n-ésimas de z, ou seja, as soluções w de w^{n}=z, são dadas por
w_k = r^{1/n}\,e^{i\left(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)} \quad\text{para } k=0,1,\dots,n-1.
Explicando cada parte:
  • r é o módulo de z (distância ao origem).
  • \theta é um argumento de z (um ângulo tal que z=r e^{i\theta}); note que \theta pode ser substituído por \theta+2m\pi sem mudar z.
  • r^{1/n} é a raiz real positiva do módulo (é o módulo de cada raiz w_k).
  • O índice k gera as n raízes distintas pelo acréscimo de 2k\pi antes de dividir por n.
    Motivação curta (intuição): se w=\rho e^{i\varphi} então w^n=\rho^n e^{i n\varphi}. Igualando módulo e argumento com r e^{i\theta} obtemos \rho^n=r e n\varphi=\theta+2k\pi, daí a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Aqui z=64. Escrevendo em forma polar:
  • O módulo é r=64.
  • Um argumento conveniente é \theta=0 (porque 64 é real e positivo), lembrando que poderíamos usar \theta=0+2m\pi.
    Tomando n=6, a raiz do módulo é
r^{1/6}=64^{1/6}=(2^{6})^{1/6}=2.
Os argumentos das raízes são
\phi_k=\frac{\theta+2k\pi}{6}=\frac{0+2k\pi}{6}=\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,2,3,4,5.
Portanto todas as soluções em forma trigonométrica/exponencial são
w_k = 2\,e^{i\frac{k\pi}{3}} = 2\big(\cos\!\tfrac{k\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{k\pi}{3}\big), \qquad k=0,1,2,3,4,5.

Passo 4

Converter cada w_k para a forma a+ib (retangular), usando valores conhecidos de cosseno e seno para múltiplos de \tfrac{\pi}{3}.
  • Para k=0: \cos 0=1,\\ \sin 0=0. Logo
    w_0=2(\,1+ i\cdot0\,)=2.
  • Para k=1: \cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\\ \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
    w_1=2\Big(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=1+i\sqrt{3}.
  • Para k=2: \cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2},\\ \sin\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
    w_2=2\Big(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=-1+i\sqrt{3}.
  • Para k=3: \cos\pi=-1,\\ \sin\pi=0. Logo
    w_3=2(-1+ i\cdot0)=-2.
  • Para k=4: \cos\tfrac{4\pi}{3}=-\tfrac{1}{2},\\ \sin\tfrac{4\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
    w_4=2\Big(-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=-1-i\sqrt{3}.
  • Para k=5: \cos\tfrac{5\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\\ \sin\tfrac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
    w_5=2\Big(\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=1-i\sqrt{3}.
Observação rápida: são exatamente seis raízes distintas, distribuídas uniformemente no círculo de raio 2 no plano complexo (vértices de um hexágono regular).

Passo 5

Resumo prático para provar na prova (passo-a-passo curto que dá ponto):
  1. Reescrever w^{6}=64 como w^{6}=64e^{i\cdot0}.
  2. Aplicar a fórmula das raízes: w=64^{1/6}e^{i(\,0+2k\pi\,)/6}.
  3. Calcular 64^{1/6}=2 e listar k=0,\dots,5 para obter os seis argumentos \tfrac{k\pi}{3}.
  4. Converter em forma a+ib se pedirem valores explícitos.

Resposta

\;2
\;1+i\sqrt{3}
\;-1+i\sqrt{3}
\;-2
\;-1-i\sqrt{3}
\;1-i\sqrt{3}

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