Determine o quociente e o resto na divisão de f por g.
(c) f=x^{6}+3 x^{4}-\sqrt{2} x^{2} e g=x^{3}-x^{2}+x-3

Passo 1

O enunciado pede: determinar o quociente e o resto na divisão de f por g.
As informações dadas são:
f(x)=x^{6}+3x^{4}-\sqrt{2}\,x^{2}
g(x)=x^{3}-x^{2}+x-3
Queremos encontrar polinômios q(x) (quociente) e r(x) (resto) tais que
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x)
com \deg r<\deg g (ou seja, \deg r\le 2, pois \deg g=3).

Passo 2

Breve explicação do método (divisão de polinômios, passo a passo): a cada etapa dividimos o termo de maior grau do polinômio restante pelo termo de maior grau do divisor para obter o próximo termo do quociente; multiplicamos o divisor por esse termo e subtraímos do polinômio restante, obtendo um novo resto de grau menor ou igual ao anterior. Repetimos até o grau do resto ser menor que o grau do divisor.
Regra prática: se o resto atual tem termo \alpha x^{n} e o divisor tem termo líder \beta x^{m}, então o próximo termo do quociente é \dfrac{\alpha}{\beta}x^{\,n-m}.
Agora aplicamos isso a f e g.

Passo 3

Primeiro passo da divisão: olhamos o termo de maior grau de f, que é x^{6}, e o termo líder de g, que é x^{3}. Dividindo obtemos o primeiro termo do quociente:
\frac{x^{6}}{x^{3}}=x^{3}.
Multiplicamos g por x^{3}:
x^{3}\cdot g(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-3x^{3}.
Subtraímos isso de f(x). Escrevendo os termos por grau:
f(x)-x^{3}g(x)=(x^{6}+0\cdot x^{5}+3x^{4}+0\cdot x^{3}-\sqrt{2}\,x^{2}+0\cdot x+0) - (x^{6}-x^{5}+x^{4}-3x^{3}).
Fazendo a subtração coeficiente a coeficiente obtemos o novo resto:
R_{1}(x)=x^{5}+2x^{4}+3x^{3}-\sqrt{2}\,x^{2}.

Passo 4

Segundo passo: dividimos o termo de maior grau de R_{1}, que é x^{5}, pelo termo líder de g, x^{3}:
\frac{x^{5}}{x^{3}}=x^{2}.
Multiplicamos g por x^{2}:
x^{2}\cdot g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}-3x^{2}.
Subtraímos desse novo resto:
R_{1}(x)-x^{2}g(x)=(x^{5}+2x^{4}+3x^{3}-\sqrt{2}\,x^{2})-(x^{5}-x^{4}+x^{3}-3x^{2}).
Subtraindo coeficientes:
R_{2}(x)=3x^{4}+2x^{3}+(3-\sqrt{2})x^{2}.

Passo 5

Terceiro passo: dividimos o termo líder de R_{2}, 3x^{4}, por x^{3}:
\frac{3x^{4}}{x^{3}}=3x.
Multiplicamos g por 3x:
3x\cdot g(x)=3x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-9x.
Subtraímos:
R_{2}(x)-3xg(x)=(3x^{4}+2x^{3}+(3-\sqrt{2})x^{2})-(3x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-9x).
Subtraindo coeficientes obtemos:
R_{3}(x)=5x^{3}-\sqrt{2}\,x^{2}+9x.

Passo 6

Quarto passo: dividimos o termo líder de R_{3}, 5x^{3}, por x^{3}:
\frac{5x^{3}}{x^{3}}=5.
Multiplicamos g por 5:
5\cdot g(x)=5x^{3}-5x^{2}+5x-15.
Subtraímos:
R_{3}(x)-5g(x)=(5x^{3}-\sqrt{2}\,x^{2}+9x)-(5x^{3}-5x^{2}+5x-15).
Fazendo a subtração coeficiente a coeficiente:
R_{4}(x)=(5-\sqrt{2})x^{2}+4x+15.

Passo 7

Verificação e término: o resto final R_{4}(x)=(5-\sqrt{2})x^{2}+4x+15 tem grau 2, que é menor que \deg g=3. Portanto a divisão terminou. O quociente é a soma dos termos escolhidos em cada etapa:
q(x)=x^{3}+x^{2}+3x+5.
E o resto é r(x)=R_{4}(x).

Resposta

q(x)=x^{3}+x^{2}+3x+5
r(x)=(5-\sqrt{2})x^{2}+4x+15

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