Determine o MDC em mathbb{Q}[x] dos seguintes pares de polinômios :
(b) f=x^{6}-x^{5}-x+1 e g=x^{7}-1

Passo 1

O problema pede o máximo divisor comum (MDC) em \mathbb{Q}[x] dos dois polinômios dados. As informações fornecidas são:
f=x^{6}-x^{5}-x+1
g=x^{7}-1
Queremos encontrar um polinómio não nulo d(x)\in\mathbb{Q}[x], monicamente normalizado (ou seja, com coeficiente líder 1), que divida simultaneamente f e g e que seja de grau máximo possível.

Passo 2

Primeira observação simples: avaliar ambos os polinômios em x=1 para ver se x-1 é fator comum.
f(1)=1^{6}-1^{5}-1+1=1-1-1+1=0,
g(1)=1^{7}-1=0.
Portanto, x-1 é um fator de f e de g. Ainda não sabemos se há fatores comuns além de x-1 nem a multiplicidade de x-1 em cada polinómio.

Passo 3

Fatoramos f por agrupamento para ver sua estrutura completa:
Agrupando termos,
f=x^{6}-x^{5}-x+1 = x^{5}(x-1)-1(x-1) = (x^{5}-1)(x-1).
Assim temos
f=(x^{5}-1)(x-1).
Podemos fatorar ainda x^{5}-1 usando a fórmula de diferença de potências:
x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1).
Logo, combinando,
f=(x-1)\cdot (x-5-1\text{?})\quad\text{(corrigindo:)}\quad f=(x^{5}-1)(x-1)=(x-1)^{2}(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1).
Ou seja, x-1 é raiz de f com multiplicidade 2.

Passo 4

Fatoramos g:
g=x^{7}-1=(x-1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1).
Aqui x-1 é raiz simples de g (multiplicidade 1), porque a derivada g'(x)=7x^{6} satisfaz g'(1)=7\neq 0. Portanto a multiplicidade de x-1 em g é exatamente 1.

Passo 5

Comparando multiplicidades, x-1 aparece em f com multiplicidade 2 e em g com multiplicidade 1. Na definição de MDC em \mathbb{Q}[x] a multiplicidade do fator comum é o mínimo das multiplicidades nos dois polinómios. Assim, pelo fator x-1 obtemos no máximo multiplicidade 1 no MDC. Resta verificar se existe algum outro fator irreducível comum além de x-1.

Passo 6

Uma maneira geral e prática de ver fatores comuns entre potências menos um é usar esta propriedade: para inteiros positivos m,n,
\gcd(x^{m}-1,\;x^{n}-1)=x^{\gcd(m,n)}-1
em \mathbb{Q}[x]. Prova curta da ideia: se r é raiz comum de x^{m}-1 e x^{n}-1, então r^{m}=r^{n}=1, logo a ordem multiplicativa de r divide m e n, portanto divide \gcd(m,n), o que implica r^{\gcd(m,n)}=1; assim qualquer divisor comum divide x^{\gcd(m,n)}-1. E claramente x^{\gcd(m,n)}-1 divide ambos, logo é o gcd.
Aplicando essa propriedade a x^{5}-1 e x^{7}-1, como \gcd(5,7)=1, segue
\gcd(x^{5}-1,\;x^{7}-1)=x^{1}-1=x-1.

Passo 7

Voltando ao nosso problema: f=(x-1)(x^{5}-1) e g=x^{7}-1. Qualquer divisor comum de f e g deve dividir tanto x-1 (já visto comum) quanto dividir também \gcd(x^{5}-1,x^{7}-1)=x-1. Portanto o único fator comum irreduzível é x-1, e a multiplicidade máxima comum é min (2,1)=1. Portanto o MDC é exatamente x-1, e normalmente escolhemos a versão monica x-1.

Resposta

x-1

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