Determine o MDC em
dos seguintes pares de polinômios :
(b)
e
(b)
Passo 1
O problema pede o máximo divisor comum (MDC) em
dos dois polinômios dados. As informações fornecidas são:
Queremos encontrar um polinómio não nulo
, monicamente normalizado (ou seja, com coeficiente líder
), que divida simultaneamente
e
e que seja de grau máximo possível.
Passo 2
Primeira observação simples: avaliar ambos os polinômios em
para ver se
é fator comum.
Portanto,
é um fator de
e de
. Ainda não sabemos se há fatores comuns além de
nem a multiplicidade de
em cada polinómio.
Passo 3
Fatoramos
por agrupamento para ver sua estrutura completa:
Agrupando termos,
Agrupando termos,
Assim temos
Podemos fatorar ainda
usando a fórmula de diferença de potências:
Logo, combinando,
Ou seja,
é raiz de
com multiplicidade
.
Passo 4
Fatoramos
:
Aqui
é raiz simples de
(multiplicidade
), porque a derivada
satisfaz
. Portanto a multiplicidade de
em
é exatamente
.
Passo 5
Comparando multiplicidades,
aparece em
com multiplicidade
e em
com multiplicidade
. Na definição de MDC em
a multiplicidade do fator comum é o mínimo das multiplicidades nos dois polinómios. Assim, pelo fator
obtemos no máximo multiplicidade
no MDC. Resta verificar se existe algum outro fator irreducível comum além de
.
Passo 6
Uma maneira geral e prática de ver fatores comuns entre potências menos um é usar esta propriedade: para inteiros positivos
,
em
. Prova curta da ideia: se
é raiz comum de
e
, então
, logo a ordem multiplicativa de
divide
e
, portanto divide
, o que implica
; assim qualquer divisor comum divide
. E claramente
divide ambos, logo é o gcd.
Aplicando essa propriedade a
e
, como
, segue
Passo 7
Voltando ao nosso problema:
e
. Qualquer divisor comum de
e
deve dividir tanto
(já visto comum) quanto dividir também
. Portanto o único fator comum irreduzível é
, e a multiplicidade máxima comum é min
. Portanto o MDC é exatamente
, e normalmente escolhemos a versão monica
.