Determine o MDC em
dos seguintes pares de polinômios :
(a)
e
(a)
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o MDC em
dos polinômios dados.”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
-
. -
.
Passo 2
Escolho primeiro fatorar os polinômios em
(polinômios com coeficientes racionais). Se ambos forem escritos como produto de fatores irredutíveis em
, o MDC é o produto dos fatores comuns (com a maior multiplicidade comum) — normalmente normalizado como monico (coeficiente líder igual a
). Vou fatorar
e
passo a passo.
Passo 3
Fatorando
. Usamos a identidade diferença de quadrados:
Agora fatoramos
novamente como diferença de quadrados:
Portanto
Observação: o fator
é irreduzível em
porque não tem raízes racionais (o discriminante é
), logo não pode ser fatorado sobre os racionais.
Passo 4
Fatorando
. Procuramos dois números racionais cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Assim
Também podemos verificar pelas raízes:
e
são raízes racionais, confirmando a fatoração.
Passo 5
Comparando as fatorações obtidas:
O único fator não-constante que aparece em ambas as fatorações é
. Não há outro fator comum (por exemplo,
,
e
não aparecem em ambos).
Passo 6
Conclusão sobre o MDC: o produto dos fatores comuns (com suas menores multiplicidades) é simplesmente
. Em
é habitual tomar o MDC monico, então o MDC é exatamente
.