Determine o MDC em mathbb{Q}[x] dos seguintes pares de polinômios :
(a) f=x^{4}-1 e g=x^{2}+3 x+2

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o MDC em \mathbb{Q}[x] dos polinômios dados.”
Informações fornecidas:
  • f = x^{4}-1.
  • g = x^{2}+3x+2.

Passo 2

Escolho primeiro fatorar os polinômios em \mathbb{Q}[x] (polinômios com coeficientes racionais). Se ambos forem escritos como produto de fatores irredutíveis em \mathbb{Q}[x], o MDC é o produto dos fatores comuns (com a maior multiplicidade comum) — normalmente normalizado como monico (coeficiente líder igual a 1). Vou fatorar f e g passo a passo.

Passo 3

Fatorando f. Usamos a identidade diferença de quadrados:
x^{4}-1 = (x^{2})^{2}-1^{2} = (x^{2}-1)(x^{2}+1).
Agora fatoramos x^{2}-1 novamente como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto
f = x^{4}-1 = (x-1)(x+1)(x^{2}+1).
Observação: o fator x^{2}+1 é irreduzível em \mathbb{Q}[x] porque não tem raízes racionais (o discriminante é 0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4<0), logo não pode ser fatorado sobre os racionais.

Passo 4

Fatorando g. Procuramos dois números racionais cujo produto seja 2 (termo constante) e cuja soma seja 3 (coeficiente de x). Esses números são 1 e 2. Assim
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Também podemos verificar pelas raízes: -1 e -2 são raízes racionais, confirmando a fatoração.

Passo 5

Comparando as fatorações obtidas:
f=(x-1)(x+1)(x^{2}+1), \qquad g=(x+1)(x+2).
O único fator não-constante que aparece em ambas as fatorações é (x+1). Não há outro fator comum (por exemplo, x-1, x+2 e x^{2}+1 não aparecem em ambos).

Passo 6

Conclusão sobre o MDC: o produto dos fatores comuns (com suas menores multiplicidades) é simplesmente (x+1). Em \mathbb{Q}[x] é habitual tomar o MDC monico, então o MDC é exatamente (x+1).

Resposta

x+1

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