Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
7.3 sumn=0^infty 1n+5(x-3)^n;

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências 7.3 sumn=0^infty 1n+5(x-3)^n. O assunto aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão pra achar o raio e depois checar os extremos pra montar o intervalo.

Passo 2

O teste da razão diz que a gente calcula a seguinte expressão para o termo geral an = 7.31n+5(x-3)^n:

Passo 3

L = limntoinfty |an+1an|

Passo 4

Substituindo a gente tem

Passo 5

|an+1an| = |7.31n+6(x-3)^n+17.31n+5(x-3)^n| = n+5n+6,|x-3|

Passo 6

Quando ntoinfty, n+5n+6to1. Logo

Passo 7

L = |x-3|

Passo 8

O teste da razão manda ter L<1, ou seja:

Passo 9

|x-3|<1

Passo 10

Isso significa que a série converge para valores de x satisfazendo

Passo 11

2 < x < 4

Passo 12

Agora a gente verifica os extremos:

Passo 13

Para x=4, (x-3)=1 e a série vira

Passo 14

7.3sumn=0^infty1n+5,

Passo 15

que é equivalente a uma série harmônica deslocada e, portanto, diverge.

Passo 16

Para x=2, (x-3)=-1 e a série fica

Passo 17

7.3sumn=0^infty(-1)^nn+5

Passo 18

Como 1n+5 é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada converge pelo critério de Leibniz.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é [2,4).

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