O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade
de poluente (medido em mg/litro) está diminuindo de acordo com a equação
, onde
representa o tempo em horas. Se
do poluente são removidos nas primeiras cinco horas:
(a) Que porcentagem do poluente ainda permanecem após 10 horas?
(b) Quanto tempo levará até que o poluente seja reduzido a
?
(c) Desenhe um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico.
(d) Explique por que a quantidade de poluente pode diminuir dessa forma.
(a) Que porcentagem do poluente ainda permanecem após 10 horas?
(b) Quanto tempo levará até que o poluente seja reduzido a
(c) Desenhe um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico.
(d) Explique por que a quantidade de poluente pode diminuir dessa forma.
Passo 1
O enunciado diz que a concentração de poluente satisfaz a lei do decaimento exponencial
onde
é a concentração inicial e
é uma constante (negativa, já que a quantidade decai). Sabemos que nas primeiras cinco horas 10 % do poluente são removidos, ou seja
Para resolver as perguntas, vamos primeiro determinar
usando essa condição.
Passo 2
Aplicamos
e cancelamos
, obtendo
Passo 3
(a) Após 10 horas temos
Logo, 81 % do poluente ainda permanecem.
Passo 4
(b) Queremos
tal que
. Então
Passo 5
(c) O gráfico de
versus
é uma curva exponencial decrescente. Nos marcamos os pontos principais:
,
,
e
.
No eixo horizontal colocamos (horas) e no vertical
. A curva parte de 1 em
e decai suavemente passando pelos pontos calculados.
No eixo horizontal colocamos
Passo 6
(d) Esse modelo de decaimento exponencial ocorre porque a vazão de remoção de poluente a cada instante é proporcional à quantidade de poluente presente. Isso gera uma equação diferencial do tipo
cuja solução é exatamente
.
Resposta
(a)
do poluente permanecem após 10 horas.
(b) Aproximadamente horas para atingir
.
(c) Gráfico de vs.\
: curva exponencial decrescente passando por
,
,
e
.
(d) Porque a taxa de remoção é proporcional à concentração atual, caracterizando decaimento exponencial.
(b) Aproximadamente
(c) Gráfico de
(d) Porque a taxa de remoção é proporcional à concentração atual, caracterizando decaimento exponencial.