O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade P de poluente (medido em mg/litro) está diminuindo de acordo com a equação P=P0 e^k t, onde t representa o tempo em horas. Se 10 % do poluente são removidos nas primeiras cinco horas:
(a) Que porcentagem do poluente ainda permanecem após 10 horas?
(b) Quanto tempo levará até que o poluente seja reduzido a 50 % ?
(c) Desenhe um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico.
(d) Explique por que a quantidade de poluente pode diminuir dessa forma.

Passo 1

O enunciado diz que a concentração de poluente satisfaz a lei do decaimento exponencial
P(t)=P0e^k t
onde P0 é a concentração inicial e k é uma constante (negativa, já que a quantidade decai). Sabemos que nas primeiras cinco horas 10 % do poluente são removidos, ou seja
P(5)=0,9,P0
Para resolver as perguntas, vamos primeiro determinar k usando essa condição.

Passo 2

Aplicamos
P(5)=P0e^kcdot5=0,9,P0
e cancelamos P0, obtendo
e^5k=0,9 Longrightarrow 5k=ln(0,9) Longrightarrow k=15ln(0,9)

Passo 3

(a) Após 10 horas temos
P(10)=P0e^kcdot10 =P0e^2cdot5k =P0l(e^5kr)^2 =P0(0,9)^2 =0,81,P0
Logo, 81 % do poluente ainda permanecem.

Passo 4

(b) Queremos t tal que P(t)=0,5,P0. Então
0,5,P0=P0e^k t Longrightarrow e^k t=0,5 Longrightarrow t=ln(0,5)k =ln(0,5)tfrac15ln(0,9) =5ln(0,5)ln(0,9)approx32,9 horas

Passo 5

(c) O gráfico de P/P0 versus t é uma curva exponencial decrescente. Nos marcamos os pontos principais:
l(0,1r), l(5,0,9r), l(10,0,81r) e l(32,9,0,5r).
No eixo horizontal colocamos t (horas) e no vertical P/P0. A curva parte de 1 em t=0 e decai suavemente passando pelos pontos calculados.

Passo 6

(d) Esse modelo de decaimento exponencial ocorre porque a vazão de remoção de poluente a cada instante é proporcional à quantidade de poluente presente. Isso gera uma equação diferencial do tipo
dPdt=kP,
cuja solução é exatamente P=P0e^k t.

Resposta

(a) 81,% do poluente permanecem após 10 horas.
(b) Aproximadamente 32,9 horas para atingir 50,%.
(c) Gráfico de P/P0 vs.\ t: curva exponencial decrescente passando por (0,1), (5,0,9), (10,0,81) e (32,9,0,5).
(d) Porque a taxa de remoção é proporcional à concentração atual, caracterizando decaimento exponencial.

Exercícios relacionados