Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
que está centrada em
. Para isso vamos: (i) usar o teste da raiz para encontrar o raio
e (ii) testar a convergência nos pontos finais do intervalo
.
Passo 2
Reindexando com
, escrevemos
onde
Pelo teste da raiz, o raio
satisfaz
Passo 3
Calculamos
Logo
Passo 4
Os extremos do domínio são
.
- Para
(ou seja ), a série vira
que é uma série
-com
. Converge (absolutamente).
- Para
(ou seja ), a série fica
cuja série de termos absolutos é novamente
, que converge. Logo também converge (absolutamente).
Assim ambos os extremos
e
estão incluídos.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é