Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{m-1}}{2^{m} \sqrt{m^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{m-1}}{2^{m}\sqrt{m^{3}}},
que está centrada em x_{0}=-1. Para isso vamos: (i) usar o teste da raiz para encontrar o raio R e (ii) testar a convergência nos pontos finais do intervalo (-1-R,\,-1+R).

Passo 2

Reindexando com n=m-1, escrevemos
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{m-1}}{2^{m}\,m^{3/2}} =\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x+1)^{n},
onde
c_{n}=\frac{1}{2^{\,n+1}(n+1)^{3/2}}.
Pelo teste da raiz, o raio R satisfaz
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\bigl|c_{n}\bigr|^{1/n}.

Passo 3

Calculamos
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{2^{\,n+1}(n+1)^{3/2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2\cdot2^{1/n}}\,(n+1)^{-3/(2n)} =\frac{1}{2}.
Logo
\frac{1}{R}=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad R=2.

Passo 4

Os extremos do domínio são x+1=\pm2.
  1. Para x+1=2 (ou seja x=1), a série vira
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^{\,m-1}}{2^{m}m^{3/2}} =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{2\,m^{3/2}},
que é uma série p-com p=3/2>1. Converge (absolutamente).
  1. Para x+1=-2 (ou seja x=-3), a série fica
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-2)^{m-1}}{2^{m}m^{3/2}} =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{2\,m^{3/2}},
cuja série de termos absolutos é novamente \sum 1/(2\,m^{3/2}), que converge. Logo também converge (absolutamente).
Assim ambos os extremos x=-3 e x=1 estão incluídos.

Resposta

O raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência é
[-3,\,1].

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