Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln \left(n^{2}\right)}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln\bigl(n^{2}\bigr)}{n}
usando o teste da integral (ou, alternativamente, comparação com a série harmônica). Vamos usar o teste da integral, que exige associar a termo geral a uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Note que
\frac{\ln\bigl(n^{2}\bigr)}{n} =\frac{2\ln n}{n}.
Definimos a função
f(x)=\frac{2\ln x}{x},\quad x\ge2.
Verificamos que f(x)>0 para x\ge2 e que, para x>e,
f'(x) =\frac{2\bigl(1-\ln x\bigr)}{x^{2}} <0,
logo f é decrescente para x\ge2 (até um ajuste finito em [2,e], que não afeta a convergência).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, examinando
\int_{2}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{2}^{\infty}\frac{2\ln x}{x}\,\mathrm{d}x.
Fazendo a substituição u=\ln x, \mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x, temos
\int_{2}^{\infty}\frac{2\ln x}{x}\,\mathrm{d}x =2\int_{\ln 2}^{\infty}u\,\mathrm{d}u =2\left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{\ln 2}^{\infty} =\bigl(\ln x\bigr)^{2}\Big|_{2}^{\infty} =\infty.
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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