Determine O RAIO de convergência e O INTERVALO de convergência.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o RAIO de convergência e o INTERVALO de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{n}}{4^{n}}.
Informações dadas:
\text{cada termo é } \frac{(z-1)^{n}}{4^{n}}.é
O que se pede:
  • O valor do raio de convergência R.
  • O intervalo de convergência (ou seja, para z real, o conjunto de z\in\mathbb{R} onde a série converge).

Passo 2

Identificação como série de potências centrada em z=1. Escrevemos a série na forma padrão de série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-c)^n,
onde aqui c=1 e a_n=\dfrac{1}{4^{n}}. Note que podemos reescrever diretamente como série geométrica:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{n}}{4^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-1}{4}\right)^{n}.
Vou usar a propriedade básica da série geométrica para achar o raio: a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1.

Passo 3

Aplicando a condição da geométrica ao nosso r=\dfrac{z-1}{4}:
\text{converge} \iff \left|\frac{z-1}{4}\right|<1.
Multiplicando ambos os lados por 4 (número positivo, então não invertemos desigualdade):
\left|z-1\right|<4.
Isto mostra que a série converge para todos os z com \left|z-1\right|<4. Portanto o raio de convergência é
R=4.

Passo 4

Como verificação alternativa (opcional, mas didático): usar a fórmula do raio com \limsup das raízes a_n. Para a_n=1/4^n temos
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{4^n}}=\frac{1}{4}.
A fórmula geral diz R=\dfrac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\dfrac{1}{1/4}=4, que coincide com o resultado da geométrica.

Passo 5

Determinar o intervalo de convergência para z real: a condição \left|z-1\right|<4 equivale a
-4<z-1<4.
Somando 1 em todas as partes:
-3<z<5.
Assim o intervalo aberto onde a série converge é (-3,5), mas precisamos verificar os extremos z=-3 e z=5 separadamente.

Passo 6

Verificação dos extremos:
  • Para z=5: temos \dfrac{z-1}{4}=\dfrac{5-1}{4}=1. A série vira \sum_{n=0}^{\infty}1^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}1, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
  • Para z=-3: temos \dfrac{z-1}{4}=\dfrac{-3-1}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1. A série vira \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}, cujos termos também não tendem a zero e as somas parciais oscilam (não convergem). Logo diverge também.
Portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

Raio de convergência: \;4
Intervalo de convergência (para z real): \;(-3,5)

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