A fórmula geral diz R=\dfrac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\dfrac{1}{1/4}=4, que coincide com o resultado da geométrica.
Passo 5
Determinar o intervalo de convergência para z real: a condição \left|z-1\right|<4 equivale a
-4<z-1<4.
Somando 1 em todas as partes:
-3<z<5.
Assim o intervalo aberto onde a série converge é (-3,5), mas precisamos verificar os extremos z=-3 e z=5 separadamente.
Passo 6
Verificação dos extremos:
Para z=5: temos \dfrac{z-1}{4}=\dfrac{5-1}{4}=1. A série vira \sum_{n=0}^{\infty}1^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}1, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
Para z=-3: temos \dfrac{z-1}{4}=\dfrac{-3-1}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1. A série vira \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}, cujos termos também não tendem a zero e as somas parciais oscilam (não convergem). Logo diverge também.
Portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.
Resposta
Raio de convergência: \;4
Intervalo de convergência (para z real): \;(-3,5)