Achar e representar graficamente o domínio da função f=f(x, y) dada pela regra:
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{y-\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{y-\sqrt{x}}}
e pede para achar e representar graficamente o domínio da função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é escrita em termos de radicais (raízes quadradas) e uma divisão.
  • Queremos todos os pares (x,y) reais para os quais f(x,y) está bem definida como número real.
  • Não há figura adicional no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que significa “estar bem definida” aqui — vamos traduzir isso em condições matemáticas simples. Toda vez que aparece uma raiz quadrada de algo, \sqrt{\cdot}, precisamos que o conteúdo dentro da raiz seja maior ou igual a zero (para obter um número real). Além disso, como o resultado da raiz está no denominador da fração, esse denominador não pode ser zero (porque dividir por zero não faz sentido). Vou aplicar essas duas regras ao nosso caso, devagarinho.

Passo 3

Olhe a parte interna mais interna: \sqrt{x}. Para essa expressão existir como número real precisamos de
x \ge 0.
Explicando: a raiz quadrada real só é definida para argumentos não negativos; portanto x não pode ser negativo. Exemplos: \sqrt{4}=2 (ok), \sqrt{0}=0 (ok), \sqrt{-1} não é real (não aceitável aqui).

Passo 4

Agora considere a raiz externa \sqrt{\,y-\sqrt{x}\,}. Para essa raiz existir como número real precisamos que o radicando seja não negativo:
y - \sqrt{x} \ge 0.
Mas atenção: essa raiz aparece no denominador da fração \dfrac{1}{\sqrt{y-\sqrt{x}}}. Como divir por zero é proibido, precisamos que o denominador seja estritamente positivo. Logo substituímos a desigualdade não-negativa por desigualdade estrita:
y - \sqrt{x} > 0.
Isto é, precisamos de y > \sqrt{x}.

Passo 5

Agora juntamos as duas condições que obtivemos: (i) x \ge 0 (para \sqrt{x} existir) e (ii) y > \sqrt{x} (para a raiz externa existir e ser não-nula). Portanto o domínio é o conjunto dos pares (x,y) que satisfazem ambas as condições simultaneamente.

Passo 6

Escrevendo o domínio de forma rigorosa em notação de conjuntos, temos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\; y>\sqrt{x}\}.
Explicação geométrica: a curva de contorno dada por y=\sqrt{x} (para x\ge 0) é a fronteira do domínio. Como a desigualdade em y é estrita, a fronteira não pertence ao domínio. O domínio é a região acima dessa curva, para a metade direita do plano (onde x\ge 0).

Passo 7

Como sugestão prática para desenhar a região no papel (passo a passo):
  • Trace os eixos x e y.
  • Marque pontos da curva y=\sqrt{x}: (0,0), (1,1), (4,2), etc., e desenhe a curva suave para x\ge 0.
  • Faça a curva em linha tracejada (porque ela não pertence ao domínio).
  • Sombrite a região acima dessa curva (valores de y maiores que \sqrt{x}) apenas para x\ge 0. Essa é a região do domínio.

Passo 8

Exemplos rápidos para checar se um ponto pertence ao domínio:
  • (x,y)=(1,2): \sqrt{1}=1 e 2>1 → pertence ao domínio.
  • (x,y)=(1,1): \sqrt{1}=1 e 1\not>1 → não pertence (está na fronteira).
  • (x,y)=(-1,3): \sqrt{-1} não é real → não pertence.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\; y>\sqrt{x}\}
Região: todos os pontos acima da curva y=\sqrt{x} para x\ge 0, sem incluir a própria curva.

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