Determine O RAIO de convergência e O INTERVALO de convergência.
Passo 1
O enunciado dá a soma da série de potências
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência. Informações relevantes extraídas do enunciado: o centro da série é
(porque aparece
), e o coeficiente do termo
é
. A partir daqui vamos determinar o raio
e, quando
for real, o intervalo na reta real em torno de
onde a série converge.
Passo 2
O conceito que usamos para achar o raio de convergência
é o critério de Cauchy–Hadamard (ou teste da raiz): para uma série de potências
o raio de convergência é
Aqui
. Vou explicar por que essa fórmula funciona de forma intuitiva: se
tende para um número
, então a série se comporta como uma série geométrica com razão
, e a convergência exige
. Por isso
.
Passo 3
Calculo do
. Para
temos
Agora passo ao limite quando
. Sabemos que
e
. Portanto
Logo
.
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo anterior, o raio de convergência é
Interpretação: a série converge absolutamente para todos os
tais que
(o disco aberto centrado em
e raio
), e diverge para
. Para pontos com
é necessário verificar caso a caso (os pontos na borda do disco).
Passo 5
Agora vou analisar a convergência nos extremos do intervalo real correspondente. Se considerarmos
real, o intervalo central é
. Precisamos testar
e
separadamente porque são pontos da fronteira.
Passo 6
Teste em
. Substituindo na série:
A série harmônica
diverge. Multiplicar por uma constante não muda isso, então a série diverge em
. Portanto
não pertence ao intervalo de convergência.
Passo 7
Teste em
. Substituindo:
Aqui podemos aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada): se
é uma sequência positiva decrescente com
, então
converge. Tomando
, temos
decrescente e
, logo
converge. Portanto a nossa série converge em
. Observação adicional: a convergência em
é condicional, não absoluta, porque
diverge.
Passo 8
Conclusão final combinando os resultados anteriores: o raio de convergência é
. Para
real, a série converge para
com
(ou seja, intervalo
), pois converge em todos os pontos com
e também em
, mas diverge em
.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência (para real):
.
Intervalo de convergência (para