Determine O RAIO de convergência e O INTERVALO de convergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(z-1)^{n}}{4 n}

Passo 1

O enunciado dá a soma da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^{n}}{4n},
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência. Informações relevantes extraídas do enunciado: o centro da série é 1 (porque aparece z-1), e o coeficiente do termo (z-1)^{n} é c_{n}=\dfrac{1}{4n}. A partir daqui vamos determinar o raio R e, quando z for real, o intervalo na reta real em torno de 1 onde a série converge.

Passo 2

O conceito que usamos para achar o raio de convergência R é o critério de Cauchy–Hadamard (ou teste da raiz): para uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-z_{0})^{n},
o raio de convergência é
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}}.
Aqui c_{n}=\dfrac{1}{4n}. Vou explicar por que essa fórmula funciona de forma intuitiva: se \sqrt[n]{|c_n|} tende para um número L, então a série se comporta como uma série geométrica com razão |z-z_0|\cdot L, e a convergência exige |z-z_0|<1/L. Por isso R=1/L.

Passo 3

Calculo do \limsup. Para c_{n}=\dfrac{1}{4n} temos
\sqrt[n]{|c_{n}|}=\sqrt[n]{\frac{1}{4n}}=\frac{1}{4^{1/n}\,n^{1/n}}.
Agora passo ao limite quando n\to\infty. Sabemos que 4^{1/n}=e^{\ln 4 / n}\to 1 e n^{1/n}=e^{\ln n / n}\to 1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}=1.
Logo \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo anterior, o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação: a série converge absolutamente para todos os z tais que |z-1|<1 (o disco aberto centrado em 1 e raio 1), e diverge para |z-1|>1. Para pontos com |z-1|=1 é necessário verificar caso a caso (os pontos na borda do disco).

Passo 5

Agora vou analisar a convergência nos extremos do intervalo real correspondente. Se considerarmos z real, o intervalo central é (1-R,\,1+R)=(0,2). Precisamos testar z=0 e z=2 separadamente porque são pontos da fronteira.

Passo 6

Teste em z=2. Substituindo na série:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2-1)^{n}}{4n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge. Multiplicar por uma constante não muda isso, então a série diverge em z=2. Portanto z=2 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Teste em z=0. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(0-1)^{n}}{4n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Aqui podemos aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada): se (b_n) é uma sequência positiva decrescente com b_n\to 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Tomando b_n=1/n, temos b_n decrescente e b_n\to 0, logo \sum_{n=1}^\infty (-1)^n/n converge. Portanto a nossa série converge em z=0. Observação adicional: a convergência em z=0 é condicional, não absoluta, porque \sum |(-1)^n/(4n)|=\tfrac{1}{4}\sum 1/n diverge.

Passo 8

Conclusão final combinando os resultados anteriores: o raio de convergência é R=1. Para z real, a série converge para x com 0\le x<2 (ou seja, intervalo [0,2) ), pois converge em todos os pontos com |x-1|<1 e também em x=0, mas diverge em x=2.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência (para z real): [0,2).

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