Use a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson para aproximar as seguintes integrais: Compare o resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime a integral
usando a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson com
. Depois devo comparar cada aproximação com o valor exato da integral e calcular o erro (diferença entre aproximação e valor exato). Informações dadas relevantes:
Passo 2
Antes de aproximar, vamos achar o valor exato da integral para poder calcular os erros depois. Vou usar integração por partes. A regra de integração por partes diz que, para funções
e
,
Escolho
e
. Então
e
. Logo
Avalio de
a
:
Portanto o valor exato da integral é
(aprox.
).
Passo 3
Agora aplico a Regra do Ponto Médio. Considere a partição em
subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo é
Os pontos médios de cada subintervalo são
ou seja, explicitamente
A fórmula da Regra do Ponto Médio é
onde aqui
.
Passo 4
Avalio
nos pontos médios. Note que os pontos médios vêm em pares simétricos em torno de
:
. Para cada par
temos
, então
Usando isso, a soma dos seis
é
Observações trigonométricas úteis:
Logo a soma é
Portanto a aproximação pelo ponto médio é
Calculando numericamente:
O erro é
, então
Passo 5
Agora uso a Regra de Simpson com
. A Regra de Simpson (para
par) é
onde
. Aqui
e os nós são
. Vou calcular
em cada nó.
Passo 6
Calculo exato (em termos simples) dos
:
Substituo na soma de Simpson:
Agrupando termos (fatores de
):
Portanto
Calculando numericamente,
O erro é
, então
Passo 7
Resumo comparativo (interpretação rápida): a Regra de Simpson com
foi muito mais precisa (erro ≈
) do que a Regra do Ponto Médio com
(erro ≈
). Isso acontece porque Simpson é exato para polinômios até grau 3 e costuma aproximar funções suaves com menos erro que métodos de ordem menor para o mesmo
.
Resposta
Regra do Ponto Médio:
\n
Regra de Simpson:
Regra de Simpson: