Use a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson para aproximar as seguintes integrais: Compare o resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.
\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}(x) d x, \quad n=6

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime a integral
\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}(x)\,dx
usando a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson com n=6. Depois devo comparar cada aproximação com o valor exato da integral e calcular o erro (diferença entre aproximação e valor exato). Informações dadas relevantes:
\text{intervalo }[a,b]=[0,\pi],\qquad n=6.

Passo 2

Antes de aproximar, vamos achar o valor exato da integral para poder calcular os erros depois. Vou usar integração por partes. A regra de integração por partes diz que, para funções u(x) e v'(x),
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx.
Escolho u(x)=x e v'(x)=\operatorname{sen}(x). Então u'(x)=1 e v(x)=-\cos(x). Logo
\int x\operatorname{sen}(x)\,dx = -x\cos(x) + \int \cos(x)\,dx = -x\cos(x)+\operatorname{sen}(x)+C.
Avalio de 0 a \pi:
\left[-x\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\right]_{0}^{\pi} = \big(-\pi\cos\pi+\operatorname{sen}\pi\big)-\big(0\cdot\cos0+\sen0\big) = -\pi(-1)+0-0 = \pi.
Portanto o valor exato da integral é \pi (aprox. 3{,}1415926536).

Passo 3

Agora aplico a Regra do Ponto Médio. Considere a partição em n subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{\pi-0}{6}=\frac{\pi}{6}.
Os pontos médios de cada subintervalo são
x_i^*=\left(i-\tfrac{1}{2}\right)h,\quad i=1,\dots,6,
ou seja, explicitamente
x_1^*=\frac{\pi}{12},\; x_2^*=\frac{\pi}{4},\; x_3^*=\frac{5\pi}{12},\; x_4^*=\frac{7\pi}{12},\; x_5^*=\frac{3\pi}{4},\; x_6^*=\frac{11\pi}{12}.
A fórmula da Regra do Ponto Médio é
M_n = h\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*),
onde aqui f(x)=x\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Avalio f nos pontos médios. Note que os pontos médios vêm em pares simétricos em torno de \pi/2: (\pi/12,11\pi/12),(\pi/4,3\pi/4),(5\pi/12,7\pi/12). Para cada par (x,\,\pi-x) temos \operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(\pi-x), então
f(x)+f(\pi-x)=x\operatorname{sen}(x)+(\pi-x)\operatorname{sen}(x)=\pi\operatorname{sen}(x).
Usando isso, a soma dos seis f(x_i^*) é
\sum_{i=1}^6 f(x_i^*) = \pi\big(\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{12})+\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{4})+\operatorname{sen}(\tfrac{5\pi}{12})\big).
Observações trigonométricas úteis:
\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{12}\big)=\operatorname{sen}(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx0{,}2588190451,
\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071067812,
\operatorname{sen}\big(\tfrac{5\pi}{12}\big)=\operatorname{sen}(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{,}9659258263.
Logo a soma é
\sum_{i=1}^6 f(x_i^*)=\pi\big(0{,}2588190451+0{,}7071067812+0{,}9659258263\big)=\pi\cdot 1{,}9318516526.
Portanto a aproximação pelo ponto médio é
M_6 = h\sum_{i=1}^6 f(x_i^*) = \frac{\pi}{6}\cdot \pi\cdot 1{,}9318516526 = \frac{\pi^2}{6}\cdot 1{,}9318516526.
Calculando numericamente:
M_6 \approx 3{,}1777687279.
O erro é M_6-\pi, então
\text{erro}_{\text{PM}} \approx 3{,}1777687279 - 3{,}1415926536 \approx 0{,}0361760743.

Passo 5

Agora uso a Regra de Simpson com n=6. A Regra de Simpson (para n par) é
S_n = \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\Big),
onde x_k=a+k h. Aqui h=\pi/6 e os nós são x_0=0,x_1=\pi/6,x_2=\pi/3,x_3=\pi/2,x_4=2\pi/3,x_5=5\pi/6,x_6=\pi. Vou calcular f(x_k)=x_k\operatorname{sen}(x_k) em cada nó.

Passo 6

Calculo exato (em termos simples) dos f(x_k):
f(x_0)=0\cdot\sen0=0,
f(x_1)=\frac{\pi}{6}\cdot\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{12},
f(x_2)=\frac{\pi}{3}\cdot\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi\sqrt{3}}{6},
f(x_3)=\frac{\pi}{2}\cdot\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi}{2},
f(x_4)=\frac{2\pi}{3}\cdot\operatorname{sen}\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi\sqrt{3}}{3},
f(x_5)=\frac{5\pi}{6}\cdot\operatorname{sen}\big(\tfrac{5\pi}{6}\big)=\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5\pi}{12},
f(x_6)=\pi\cdot\operatorname{sen}\pi=0.
Substituo na soma de Simpson:
\begin{aligned} &f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+4f(x_5)+f(x_6)\\\ &=0 + 4\cdot\frac{\pi}{12} + 2\cdot\frac{\pi\sqrt{3}}{6} + 4\cdot\frac{\pi}{2} + 2\cdot\frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 4\cdot\frac{5\pi}{12} + 0. \end{aligned}
Agrupando termos (fatores de \pi):
= \pi\Big(\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{3} + 2 + \tfrac{2\sqrt{3}}{3} + \tfrac{5}{3}\Big) = \pi\big(4+\sqrt{3}\big).
Portanto
S_6 = \frac{h}{3}\cdot \pi(4+\sqrt{3}) = \frac{\pi}{18}\cdot \pi(4+\sqrt{3}) = \frac{\pi^2}{18}\big(4+\sqrt{3}\big).
Calculando numericamente,
S_6 \approx 3{,}1429486520.
O erro é S_6-\pi, então
\text{erro}_{\text{Simpson}} \approx 3{,}1429486520 - 3{,}1415926536 \approx 0{,}0013559984.

Passo 7

Resumo comparativo (interpretação rápida): a Regra de Simpson com n=6 foi muito mais precisa (erro ≈ 1{,}36\times10^{-3}) do que a Regra do Ponto Médio com n=6 (erro ≈ 3{,}62\times10^{-2}). Isso acontece porque Simpson é exato para polinômios até grau 3 e costuma aproximar funções suaves com menos erro que métodos de ordem menor para o mesmo n.

Resposta

Regra do Ponto Médio: \,M_6\approx 3{,}1777687279,\;\text{erro}\approx 0{,}0361760743.\n
Regra de Simpson: \,S_6\approx 3{,}1429486520,\;\text{erro}\approx 0{,}0013559984.

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