Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{z}{i n}\right)^{n}.
Resposta: R=\infty

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{z}{i n}\right)^{n}
e pede o raio de convergência R. Informações relevantes que extraímos do enunciado:
\text{cada termo é } \left(\frac{z}{i n}\right)^{n}=\underbrace{\left(\frac{1}{(i n)^{n}}\right)}_{a_n}\,z^{n},é
ou seja, a série pode ser escrita como \sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n com
a_n=(i n)^{-n}.
O objetivo é encontrar o raio de convergência R dessa série centrada em 0.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para achar o raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard. Ela diz que, para uma série \sum_{n=0}^\infty a_n z^n,
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explicando devagar: \sqrt[n]{|a_n|}=|a_n|^{1/n} mede a taxa de decaimento (ou crescimento) das raízes n-ésimas dos coeficientes; se essa quantidade tende a zero, o denominador é zero e R=\infty; se tende a um número positivo L, então R=1/L. O objetivo prático é calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.

Passo 3

Calculemos |a_n|^{1/n} para os nossos a_n=(i n)^{-n}. Primeiro observe que |i|=1 (o número imaginário puro i está na circunferência unitaria). Então
|a_n| = |(i n)^{-n}| = |i n|^{-n} = (|i|\; n)^{-n} = n^{-n}.
Agora a raiz n-ésima:
|a_n|^{1/n} = (n^{-n})^{1/n} = n^{-1} = \frac{1}{n}.

Passo 4

Tomamos o \limsup quando n\to\infty:
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Portanto, pela fórmula de Cauchy–Hadamard,
R=\frac{1}{0}=\infty.
Interpretação intuitiva: os coeficientes a_n decaem muito rápido (mais rápido que qualquer exponencial), então a série converge para todo z\in\mathbb{C}.

Resposta

R=\infty

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