Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} e^{i n} z^{n}.
Resposta: R=1

Passo 1

O problema pede: determinar o raio de convergência R da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} e^{i n} z^{n}.
Informações dadas no enunciado que vamos usar:
  • A série é uma série de potências em z com termos gerais a_n z^n.
  • Os coeficientes são a_n = e^{i n} para n\ge 1.
  • Observe (da definição de e^{i n}) que cada coeficiente tem módulo igual a 1. Vou usar isso mais adiante.

Passo 2

Qual método usar? Uma forma direta e padrão é aplicar a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência. Vou apresentar a fórmula e explicar cada símbolo para você entender bem.
A fórmula de Cauchy–Hadamard diz:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui:
  • R é o raio de convergência que queremos encontrar.
  • a_n são os coeficientes da série de potências (no nosso caso a_n=e^{in}).
  • \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do módulo do coeficiente.
  • \limsup_{n\to\infty} significa o limite superior dos valores \sqrt[n]{|a_n|} quando n vai para infinito; na prática, quando a sequência tem limite simples, o \limsup é esse limite.
Use essa fórmula porque é simples, direta e exige só o comportamento dos módulos dos coeficientes — exatamente o que temos aqui.

Passo 3

Identificar os coeficientes e calcular seus módulos.
Temos a_n = e^{i n}. Pelo teorema de Euler,
e^{i n} = \cos n + i\sin n,
então o módulo é
|a_n| = |e^{i n}| = \sqrt{\cos^2 n + \sin^2 n} = 1.
Isso vale para todo n. Em palavras: todos os coeficientes têm o mesmo módulo 1.

Passo 4

Calcular a raiz enésima e o \limsup.
Como |a_n|=1 para todo n, temos
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{1} = 1
para todo n. Logo a sequência \sqrt[n]{|a_n|} é constante igual a 1, e portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = 1.

Passo 5

Substituir na fórmula de Cauchy–Hadamard para obter R.
Usando
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
e o valor do \limsup que acabamos de calcular, obtemos
R=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Interpretação prática (como aplicar isso numa prova, passo a passo rápido):
  • Identifique os coeficientes a_n.
  • Calcule |a_n|. Se for uma constante simples, ótimo — aí \sqrt[n]{|a_n|} fica fácil.
  • Calcule \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Use R=1/\limsup.
    Além disso, você pode checar por testes mais elementares: para |z|<1 a série converge absolutamente porque
\sum_{n=1}^\infty |e^{in} z^n| = \sum_{n=1}^\infty |z|^n
é uma série geométrica convergente; para |z|>1 os termos não vão a zero, então diverge. Ambos os fatos confirmam que o raio de convergência é 1.

Resposta

R=1

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