Determine o raio de convergência
das seguintes séries de potências:
.
Resposta:
Passo 1
O problema pede: determinar o raio de convergência
da série de potências
Informações dadas no enunciado que vamos usar:
- A série é uma série de potências em
com termos gerais . - Os coeficientes são
para . - Observe (da definição de
) que cada coeficiente tem módulo igual a . Vou usar isso mais adiante.
Passo 2
Qual método usar? Uma forma direta e padrão é aplicar a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência. Vou apresentar a fórmula e explicar cada símbolo para você entender bem.
A fórmula de Cauchy–Hadamard diz:
Aqui:
-
é o raio de convergência que queremos encontrar. -
são os coeficientes da série de potências (no nosso caso ). -
é a raiz enésima do módulo do coeficiente. -
significa o limite superior dos valores quando vai para infinito; na prática, quando a sequência tem limite simples, o é esse limite.
Use essa fórmula porque é simples, direta e exige só o comportamento dos módulos dos coeficientes — exatamente o que temos aqui.
Passo 3
Identificar os coeficientes e calcular seus módulos.
Temos
. Pelo teorema de Euler,
então o módulo é
Isso vale para todo
. Em palavras: todos os coeficientes têm o mesmo módulo
.
Passo 4
Calcular a raiz enésima e o
.
Como
para todo
, temos
para todo
. Logo a sequência
é constante igual a
, e portanto
Passo 5
Substituir na fórmula de Cauchy–Hadamard para obter
.
Usando
e o valor do
que acabamos de calcular, obtemos
Passo 6
Interpretação prática (como aplicar isso numa prova, passo a passo rápido):
- Identifique os coeficientes
. - Calcule
. Se for uma constante simples, ótimo — aí fica fácil. - Calcule
. - Use
.
Além disso, você pode checar por testes mais elementares: paraa série converge absolutamente porque
é uma série geométrica convergente; para
os termos não vão a zero, então diverge. Ambos os fatos confirmam que o raio de convergência é
.