Determine o raio de convergência ( \rho ) de cada uma das seguintes séries:
\sum_{k=3}^{\infty} k z^{k}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência \rho da série de potências centrada em 0
\sum_{k=3}^{\infty} k z^{k}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A série é uma série de potências na forma \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, aqui com a_k = k para k\ge 3 (e a_0=a_1=a_2=0).
  • Queremos determinar o valor de \rho tal que a série converge para |z|<\rho e diverge para |z|>\rho.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): para uma série de potências centrada em 0,
uma forma padrão de obter o raio de convergência é usar o teste da razão ou a fórmula com o limsup:
\rho=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}}.
Outra maneira equivalente (quando o limite existe) é usar o teste da razão e calcular
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \quad\text{então}\quad \rho=\frac{1}{L}.ã
Vou mostrar as duas vias (a da razão e a do limsup) porque ambas são simples aqui e reforçam o entendimento.

Passo 3

Usando o teste da razão aplicado à expressão geral do termo da série a_k z^k:
calcule a razão entre termos consecutivos em módulo:
\left|\frac{a_{k+1} z^{\,k+1}}{a_k z^{\,k}}\right| = \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\,|z| = \frac{k+1}{k}\,|z|
porque a_k=k para k grandes. Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\,|z| = 1\cdot |z| = |z|.
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja se |z|<1,
e diverge se |z|>1. Portanto o raio de convergência é \rho=1.

Passo 4

Verificação alternativa usando a fórmula com \limsup: precisamos de
\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = \lim_{k\to\infty} k^{1/k}.
Mostramos que \lim_{k\to\infty} k^{1/k}=1. Uma forma de ver isso é tomar logaritmo:
\ln\big(k^{1/k}\big)=\frac{\ln k}{k}.
Mas \lim_{k\to\infty}\frac{\ln k}{k}=0 (pois \ln k cresce muito mais devagar que k), então
\lim_{k\to\infty}\ln\big(k^{1/k}\big)=0 e portanto \lim_{k\to\infty} k^{1/k}=e^0=1.
Aplicando a fórmula,
\rho=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty} k^{1/k}}=\frac{1}{1}=1,
confirmando o resultado obtido pelo teste da razão.

Resposta

\rho=1

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