Calcule cada um dos seguintes resíduos:
. Sugestão:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
- A sugestão afirma que
com
ou seja,
é uma função analítica em
com
.
- Substituindo, temos
O objetivo é determinar a parte do desenvolvimento em série de Laurent de
em torno de
que tem termo
, ou equivalentemente calcular a fórmula de resíduo apropriada no ponto
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): o resíduo de uma função meromorfa
em um ponto
é o coeficiente do termo
na expansão em série de Laurent de
em torno de
. Se
é um pólo de ordem
de
, existe uma fórmula prática:
Explicando com exemplos pequenos:
- Se
(pólo simples), a fórmula dá . - Se
(pólo de ordem 2), fica .
Essa fórmula é muito prática em provas porque evita expandir toda a série de Laurent: basta derivar um certo número de vezes e avaliar no ponto.
Passo 3
Determinar a ordem do pólo em
: usando
com
, substituímos em
e obtemos
Como
e o fator
aparece multiplicando algo analítico e não nulo em
, o ponto
é um pólo de ordem
. Portanto usaremos a fórmula para pólo de ordem 2 do passo anterior.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
com
:
Mas
. Logo
Aqui fizemos só uma simplificação algébrica: multiplicar
por
cancela o pólo de ordem 2 e deixa uma função meromorfa
cuja derivada em
é bem definida (exceto por verificar que não há singularidade em
— não há, porque
é não nulo em
).
Passo 5
Calcular explicitamente a derivada. Usamos a regra do quociente:
Avaliando em
obtemos
Portanto, para terminar precisamos apenas dos valores
e
, que vêm da série fornecida para
.
Passo 6
Usar a série dada para
:
Dessa série vemos diretamente que
. Diferenciando termo a termo,
e portanto
. Substituindo em
obtemos
Como verificação alternativa rápida: poderíamos também expandir
em série de potências e extrair o coeficiente do termo em
(pois a derivada no zero corresponde a esse coeficiente), e isso daria o mesmo resultado
.