Calcule cada um dos seguintes resíduos:
\operatorname{res}_{f}(0), f(z)=\frac{\cot z}{z(z+1)}. Sugestão: \cot z=z^{-1} h(z) \operatorname{com} h(z)=1-\frac{1}{3} z^{2}-\frac{1}{45} z^{4}+\ldots ; 109 f(z)=\frac{\frac{h(z)}{z+1}}{z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{res}_{f}(0) para a função
f(z)=\frac{\cot z}{z(z+1)}.
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
  • A sugestão afirma que \cot z = z^{-1} h(z) com
h(z)=1-\tfrac{1}{3}z^{2}-\tfrac{1}{45}z^{4}+\ldots,
ou seja, h(z) é uma função analítica em 0 com h(0)=1.
  • Substituindo, temos
f(z)=\frac{h(z)}{z^{2}(z+1)}.
O objetivo é determinar a parte do desenvolvimento em série de Laurent de f em torno de 0 que tem termo \tfrac{1}{z}, ou equivalentemente calcular a fórmula de resíduo apropriada no ponto z=0.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): o resíduo de uma função meromorfa f em um ponto a é o coeficiente do termo (z-a)^{-1} na expansão em série de Laurent de f em torno de a. Se a é um pólo de ordem m de f, existe uma fórmula prática:
\operatorname{res}_{f}(a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-a)^{m}f(z)\big].
Explicando com exemplos pequenos:
  • Se m=1 (pólo simples), a fórmula dá \operatorname{res}_{f}(a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).
  • Se m=2 (pólo de ordem 2), fica \operatorname{res}_{f}(a)=\lim_{z\to a}\frac{d}{dz}\big[(z-a)^{2}f(z)\big].
    Essa fórmula é muito prática em provas porque evita expandir toda a série de Laurent: basta derivar um certo número de vezes e avaliar no ponto.

Passo 3

Determinar a ordem do pólo em z=0: usando \cot z = z^{-1}h(z) com h(0)\neq 0, substituímos em f e obtemos
f(z)=\frac{h(z)}{z^{2}(z+1)}.
Como h(0)=1\neq 0 e o fator \tfrac{1}{z^{2}} aparece multiplicando algo analítico e não nulo em 0, o ponto z=0 é um pólo de ordem m=2. Portanto usaremos a fórmula para pólo de ordem 2 do passo anterior.

Passo 4

Aplicando a fórmula para m=2 com a=0:
\operatorname{res}_{f}(0)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\big[z^{2}f(z)\big].
Mas z^{2}f(z)=\dfrac{h(z)}{z+1}. Logo
\operatorname{res}_{f}(0)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\!\left(\frac{h(z)}{z+1}\right).
Aqui fizemos só uma simplificação algébrica: multiplicar f por z^{2} cancela o pólo de ordem 2 e deixa uma função meromorfa \dfrac{h(z)}{z+1} cuja derivada em 0 é bem definida (exceto por verificar que não há singularidade em z=0 — não há, porque z+1 é não nulo em 0).

Passo 5

Calcular explicitamente a derivada. Usamos a regra do quociente:
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{h(z)}{z+1}\right)=\frac{h'(z)(z+1)-h(z)}{(z+1)^{2}}.
Avaliando em z=0 obtemos
\operatorname{res}_{f}(0)=\frac{h'(0)\cdot(0+1)-h(0)}{(0+1)^{2}}=h'(0)-h(0).
Portanto, para terminar precisamos apenas dos valores h(0) e h'(0), que vêm da série fornecida para h.

Passo 6

Usar a série dada para h(z):
h(z)=1-\tfrac{1}{3}z^{2}-\tfrac{1}{45}z^{4}+\ldots
Dessa série vemos diretamente que h(0)=1. Diferenciando termo a termo,
h'(z)=-\tfrac{2}{3}z-\tfrac{4}{45}z^{3}+\ldots
e portanto h'(0)=0. Substituindo em h'(0)-h(0) obtemos
\operatorname{res}_{f}(0)=0-1=-1.
Como verificação alternativa rápida: poderíamos também expandir \dfrac{h(z)}{z+1} em série de potências e extrair o coeficiente do termo em z (pois a derivada no zero corresponde a esse coeficiente), e isso daria o mesmo resultado -1.

Resposta

-1

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