Determine o raio de convergência (
) de cada uma das seguintes séries:
, onde
é um polinômio
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência
da série
onde
é um polinômio em
. Informações dadas que vamos usar:
é um polinômio (pode ser o polinômio nulo ou um polinômio de grau
com coeficiente líder diferente de zero). A pergunta é somente: qual é o raio de convergência
dessa série, dependendo do caso.
Passo 2
Explico o que significa “raio de convergência” de forma prática e a ferramenta que vamos usar. Dados os coeficientes
de uma série de potências
, o raio de convergência
é o número tal que a série converge para
e diverge para
(no contorno
pode haver comportamento misto). Uma fórmula muito útil é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
onde
são os coeficientes da série. Aqui, identificamos
. Vou usar essa fórmula porque ela reduz o problema a calcular
.
Passo 3
Separei os casos: (i)
é o polinômio identicamente nulo (isto é,
para todo
); (ii)
é um polinômio não nulo de grau
. Primeiro trato o caso não nulo, depois o caso nulo.
Passo 4
Considere
não nulo. Escrevemos o polinômio de grau
(com
) como
onde
. Para achar
é suficiente entender o comportamento assintótico de
quando
. Para grandes
o termo dominante é
, ou seja
. Vou transformar isso numa forma que permita aplicar a fórmula de Cauchy–Hadamard.
Passo 5
Calculo o limite de
. Para
temos, para
suficientemente grande, que
é comparável a
. Então observamos:
Agora explico por que cada fator tende a
quando
.
-
Primeiro,
porque qualquer número positivo fixo elevado à potência tende a quando . Formalmente, para todo . -
Segundo,
. Como quando , o expoente , logo .
Juntando os dois fatos obtemos
Como
tende a um limite, o
é esse mesmo limite, isto é
.
Passo 6
Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard, com
, obtemos:
portanto
quando
não é o polinômio nulo.
Passo 7
Trato agora o caso especial
. Se
para todo
, então todos os coeficientes
são zero e a série é a série nula
, que converge para qualquer
. Logo o raio de convergência é infinito:
Passo 8
Para fixar a intuição, alguns exemplos rápidos:
(constante não nula) dá
com
.
dá
com
. Ambos seguem da mesma ideia: fatores polinomiais crescem muito mais devagar do que exponenciais e, no teste de raiz, desaparecem (dão limite
).