Determine o raio de convergência ( \rho ) de cada uma das seguintes séries:
\sum_{k=0}^{\infty} p(k) z^{k}, onde p(k) é um polinômio

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência \rho da série
\sum_{k=0}^{\infty} p(k)\, z^{k},
onde p(k) é um polinômio em k. Informações dadas que vamos usar: p é um polinômio (pode ser o polinômio nulo ou um polinômio de grau n\ge 0 com coeficiente líder diferente de zero). A pergunta é somente: qual é o raio de convergência \rho dessa série, dependendo do caso.

Passo 2

Explico o que significa “raio de convergência” de forma prática e a ferramenta que vamos usar. Dados os coeficientes a_k de uma série de potências \sum a_k z^k, o raio de convergência \rho é o número tal que a série converge para |z|<\rho e diverge para |z|>\rho (no contorno |z|=\rho pode haver comportamento misto). Uma fórmula muito útil é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{\rho}=\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k},
onde a_k são os coeficientes da série. Aqui, identificamos a_k=p(k). Vou usar essa fórmula porque ela reduz o problema a calcular \limsup_{k\to\infty} |p(k)|^{1/k}.

Passo 3

Separei os casos: (i) p é o polinômio identicamente nulo (isto é, p(k)\equiv 0 para todo k); (ii) p é um polinômio não nulo de grau n\ge 0. Primeiro trato o caso não nulo, depois o caso nulo.

Passo 4

Considere p não nulo. Escrevemos o polinômio de grau n (com n\ge 0) como
p(k)=a_n k^{n}+a_{n-1}k^{n-1}+\cdots+a_0,
onde a_n\neq 0. Para achar \limsup_{k\to\infty} |p(k)|^{1/k} é suficiente entender o comportamento assintótico de p(k) quando k\to\infty. Para grandes k o termo dominante é a_n k^{n}, ou seja p(k)\sim a_n k^n. Vou transformar isso numa forma que permita aplicar a fórmula de Cauchy–Hadamard.

Passo 5

Calculo o limite de |p(k)|^{1/k}. Para a_n\neq 0 temos, para k suficientemente grande, que |p(k)| é comparável a |a_n| k^n. Então observamos:
|p(k)|^{1/k} \approx \big(|a_n|\, k^n\big)^{1/k}=|a_n|^{1/k}\, k^{n/k}.
Agora explico por que cada fator tende a 1 quando k\to\infty.
  • Primeiro, |a_n|^{1/k}\to 1 porque qualquer número positivo fixo elevado à potência 1/k tende a 1 quando k\to\infty. Formalmente, \lim_{k\to\infty} b^{1/k}=1 para todo b>0.
  • Segundo, k^{n/k}=\exp\!\big(\tfrac{n}{k}\ln k\big). Como \ln k / k \to 0 quando k\to\infty, o expoente \tfrac{n}{k}\ln k \to 0, logo k^{n/k}\to e^0=1.
Juntando os dois fatos obtemos
\lim_{k\to\infty} |p(k)|^{1/k}=1.
Como |p(k)|^{1/k} tende a um limite, o \limsup é esse mesmo limite, isto é \limsup_{k\to\infty}|p(k)|^{1/k}=1.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard, com a_k=p(k), obtemos:
\frac{1}{\rho}=\limsup_{k\to\infty}|p(k)|^{1/k}=1,
portanto \rho=1 quando p não é o polinômio nulo.

Passo 7

Trato agora o caso especial p\equiv 0. Se p(k)=0 para todo k, então todos os coeficientes a_k são zero e a série é a série nula \sum 0\cdot z^k, que converge para qualquer z\in\mathbb{C}. Logo o raio de convergência é infinito:
\rho=+\infty \quad\text{se } p\equiv 0.

Passo 8

Para fixar a intuição, alguns exemplos rápidos: p(k)=1 (constante não nula) dá \sum z^k com \rho=1. p(k)=k^2 \sum k^2 z^k com \rho=1. Ambos seguem da mesma ideia: fatores polinomiais crescem muito mais devagar do que exponenciais e, no teste de raiz, desaparecem (dão limite 1).

Resposta

\rho=1 se p não é o polinômio nulo.
\rho=+\infty se p\equiv 0.

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