Determine o raio de convergência das séries.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+5)^{n}}{n(n+1)};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências centrada em x_0=-5:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+5)^n}{n(n+1)}.
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos precisar do teste da razão (ou do teste da raiz) para encontrar o raio de convergência R.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão às parcelas
a_n(x)=\frac{(x+5)^n}{n(n+1)}.
Calculamos
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\left|\frac{(x+5)^{n+1}}{(n+1)(n+2)}\cdot\frac{n(n+1)}{(x+5)^n}\right| =\bigl|x+5\bigr|\;\frac{n}{\,n+2\,}.

Passo 3

Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\bigl|x+5\bigr|\;\frac{n}{n+2} =\bigl|x+5\bigr|.
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1, isto é,
\bigl|x+5\bigr|<1.

Passo 4

Da condição \lvert x+5\rvert<1 obtemos diretamente que o raio de convergência é
R = 1.

Resposta

O raio de convergência é 1.

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