Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
sumn=1^infty(n2 n+1)^2 n-1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem essa série de potência:
sumn=1^infty (n2n + 1)^2n - 1 x^n
O objetivo é descobrir o raio de convergência dessa série e para quais valores de ela realmente converge. Para isso, a gente vai usar o Teste da Razão, que é uma técnica da análise de séries para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde o valor de pode ir para que a série ainda converja. Se conhecermos o raio , então a série converge para todo que satisfaz .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na série. Esse teste diz que, para uma série 1R = limn to infty | an+1an | , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular a razão an+1an = (n+12(n+1) + 1)^2(n+1) - 1(n2n + 1)^2n - 1 = (n+12n + 3)^2n + 1 (2n + 1n)^2n - 1 :
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar observando como os termos se comportam para valores grandes de .

Passo 5

Para grandes n+12n + 3 approx n2n = 12 , podemos aproximar:
2n + 1n approx 2
(12)^2n + 1 (2)^2n - 1 = 12^2n + 1 cdot 2^2n - 1 = 12^2 = 14
Substituindo essas aproximações na razão:

Passo 6

Então, o limite da razão para limn to infty | an+1an | = 14 tendendo ao infinito é:
1R = 14 implies R = 4
De acordo com o Teste da Razão, temos:

Passo 7

Com o raio de convergência |x| < 4 , a série converge para todo que satisfaz:

Resposta

O raio de convergência da série é , e a série converge para todos os valores de tais que .

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