Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
sumn=1^infty n!x^nn^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o raio de convergência e todos os valores de sumn=1^infty n!x^nn^n para os quais a série de potência
converge. Isso entra no território das séries de potência, e pra resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil pra determinar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, seja L = limn to infty | an+1an | cdot |x| . Queremos calcular:
Vamos calcular essa razão passo a passo.

Passo 3

Calculando a razão dos termos:
Podemos simplificar isso mais um pouco.

Passo 4

Simplificando:
Sabemos que n^n(n+1)^n cdot 1n+1 = ( nn+1 )^n cdot 1n+1 se aproxima de quando vai para o infinito.

Passo 5

Então, calculamos o limite:
L = limn to infty (1 - 1n+1)^n cdot 1n+1 = e^-1 cdot 0 = 0
O limite é 0.

Passo 6

Como e queremos que para a convergência, isso significa que o raio de convergência é infinito. Ou seja, a série converge para todos os valores reais de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e a série converge para qualquer valor real de .

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