Determine o raio de convergência e todos os valores de para os quais as seguintes séries de potência convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o raio de convergência e todos os valores de para os quais a série de potência
converge. Isso entra no território das séries de potência, e pra resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil pra determinar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, seja . Queremos calcular:
Vamos calcular essa razão passo a passo.
Passo 3
Calculando a razão dos termos:
Podemos simplificar isso mais um pouco.
Passo 4
Simplificando:
Sabemos que n^n(n+1)^n cdot 1n+1 = ( nn+1 )^n cdot 1n+1 se aproxima de quando vai para o infinito.
Passo 5
Então, calculamos o limite:
L = limn to infty (1 - 1n+1)^n cdot 1n+1 = e^-1 cdot 0 = 0
O limite é 0.
Passo 6
Como e queremos que para a convergência, isso significa que o raio de convergência é infinito. Ou seja, a série converge para todos os valores reais de .
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, e a série converge para qualquer valor real de .