Determine a série de Taylor gerada pela
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor, onde precisamos calcular as derivadas da função no ponto
e montar a série usando essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função
em torno de
é:
No nosso caso,
, então a fórmula simplifica para:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Vamos fazer isso passo a passo:
Primeira derivada:
Avaliada em
:
Segunda derivada:
Avaliada em
:
Terceira derivada:
Avaliada em
:
Perceba que as derivadas de
alternam entre
e
, então os valores das derivadas em
alternam entre -1 e 1.
Passo 4
Com isso, podemos generalizar a expressão para a
-ésima derivada de
em
:
Isso porque a cada derivada, o sinal alterna, começando com
:
-
: -
: -
: - E assim por diante.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da série de Taylor:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é: