Determine a série de Taylor gerada pela f em x = a
f(x) = e^(-x), a = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função em torno de . Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor, onde precisamos calcular as derivadas da função no ponto e montar a série usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função em torno de é:
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Vamos fazer isso passo a passo:
Primeira derivada:
Avaliada em :
Segunda derivada:
Avaliada em :
Terceira derivada:
Avaliada em :
Perceba que as derivadas de alternam entre e , então os valores das derivadas em alternam entre -1 e 1.

Passo 4

Com isso, podemos generalizar a expressão para a -ésima derivada de em :
Isso porque a cada derivada, o sinal alterna, começando com :
  • :
  • :
  • :
  • E assim por diante.

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da série de Taylor:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados