Determine o raio e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n!(x-1)^{n}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=1
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n!(x-1)^{n}}{n^{3}}.
Pede-se:
  • o raio de convergência da série;
  • o intervalo (conjunto de pontos reais) onde a série converge.
Informações relevantes extras que já estão na série:
  • o termo geral pode ser escrito como a_n(x) = (-1)^n\frac{n!}{n^{3}}(x-1)^n;
  • a parte que depende de n (coeficiente) é (-1)^n\frac{n!}{n^{3}}.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
Para encontrar o raio de convergência de uma série de potências \sum a_n (x-c)^n um método simples e padrão é o teste da razão (ou o teste da raiz). Vou usar o teste da razão porque ele lida bem com fatoriais e é direto para obter o raio. O teste da razão aplicado ao termo geral T_n=a_n(x-1)^n diz que a série converge absolutamente se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{T_{n+1}}{T_n}\right|<1,
diverge se esse limite é >1 e é inconclusivo se o limite é =1. Para uma série de potências, o raio de convergência R é o número tal que a série converge para |x-1|<R e diverge para |x-1|>R. Se existir L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, então R=\frac{1}{L} (com a convensão 1/ \infty=0 e 1/0=\infty).

Passo 3

Calcular a razão entre coeficientes |a_{n+1}/a_n| passo a passo:
Os coeficientes em módulo são |a_n|=\dfrac{n!}{n^3}. Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!/(n+1)^3}{n!/n^3} = \frac{(n+1)!\,n^3}{n!\,(n+1)^3}.
Agora cancele n! com parte de (n+1)!, já que (n+1)!=(n+1)\,n!:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)\,n^3}{(n+1)^3} = \frac{n^3}{(n+1)^2}.

Passo 4

Aplicar o teste da razão ao termo completo T_n=a_n(x-1)^n\): \[\left|\frac{T_{n+1}}{T_n}\right| = \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot|x-1| = \frac{n^3}{(n+1)^2}\,|x-1|.
Agora vamos avaliar o limite quando n\to\infty. Observe que
\frac{n^3}{(n+1)^2} = n\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2}.
E \dfrac{n^2}{(n+1)^2}\to 1 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(n+1)^2}= \lim_{n\to\infty} n = +\infty.
Multiplicando por |x-1| (fixo), obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{T_{n+1}}{T_n}\right| = \begin{cases} 0 &\text{se }\\ |x-1|=0,\\[4pt] +\infty &\text{se }\\ |x-1|>0. \end{cases}
Na prática, para qualquer x\neq 1\] a razão tende a \(+\infty, isto é, excede 1 para n grande, então a série diverge para todo x\neq 1. Para x=1 cada termo é zero e a série converge trivialmente.]

Passo 5

Interpretação em termos do raio R e verificação usando teste da raiz/razão:
Como para todo x\neq 1 o limite da razão é +\infty, não existe intervalo |x-1|<R com R>0 onde a série convergiria. Portanto o raio de convergência é
R=0.
Isso significa que a série só converge no ponto central x=1. Verificação final: em x=1 temos (x-1)^n=0 para todo n, então a série é a soma de zeros e converge. Para x\neq 1 o termo geral não tende a zero (na verdade cresce em magnitude), logo a série diverge pelo teste do termo geral (se os termos não tendem a zero, a soma não pode convergir).

Passo 6

Comentário intuitivo final (didático e leve): factorials crescem muito rápido — mais rápido que qualquer exponencial c^n com c fixo — então quando você tem n! multiplicando |x-1|^n com |x-1|>0, os termos explodem e não há chance de convergência fora do ponto central.

Resposta

Raio de convergência: R=0
Intervalo de convergência: \{1\}

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