Determine se a série converge ou diverge e indique o teste usado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge e indicar o teste usado. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{termos: } a_n=\frac{(-1)^{n}}{n+1}.
O que precisamos decidir:
  • Se a série converge (e por qual teste).
  • Se converge absolutamente ou somente condicionalmente.

Passo 2

Observação sobre a forma da série: os sinais alternam por causa do fator (-1)^{n}. Para séries com sinais alternados é natural considerar o Critério de Leibniz (também chamado de Alternating Series Test). Esse teste pede que analisemos a sequência dos módulos dos termos
b_n=\left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1},
que é uma sequência de números positivos. Vamos verificar as hipóteses do Critério de Leibniz para (b_n).

Passo 3

Verificar que (b_n) é monótona decrescente, isto é, b_{n+1}\le b_n para todo n. Calcule:
b_n=\frac{1}{n+1},\qquad b_{n+1}=\frac{1}{n+2}.
Como n+2>n+1, segue que
\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1},
portanto b_{n+1}<b_n. Logo (b_n) é estritamente decrescente a partir de n=1.

Passo 4

Verificar que b_n tende a zero quando n\to\infty. Temos
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
Isto é óbvio pela propriedade do recíproco de n que cresce sem limite.

Passo 5

Aplicando o Critério de Leibniz (Alternating Series Test): se (b_n) é decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n
converge. Como verificamos essas duas hipóteses para b_n=\frac{1}{n+1}, concluímos que a série dada converge.

Passo 6

Agora investigamos a convergência absoluta. Consideramos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}.
Reindexando com k=n+1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}.
Essa é a série harmônica a partir de k=2. Sabemos que a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge (por exemplo pelo Teste da Integral ou pelo Critério da Série harmônica padrão), portanto remover o primeiro termo não muda o caráter de divergência; logo \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k} também diverge. Assim a série dos módulos diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.

Passo 7

Conclusão sobre o tipo de convergência: a série converge pelo Critério de Leibniz, mas a série dos módulos diverge, então a convergência é condicional (convergência, mas não absoluta).

Passo 8

Comentário útil para prova (opcional, mas bom saber): pelo Critério de Leibniz temos também um controle do erro ao aproximar a soma por uma soma parcial. Se S é a soma da série e S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^n}{n+1}, então o resto R_N=S-S_N satisfaz
|R_N|\le b_{N+1}=\frac{1}{N+2}.
Isso permite estimar quão grande deve ser N para obter uma aproximação com determinada precisão.

Resposta

A série converge condicionalmente (convergência por Critério de Leibniz / Alternating Series Test).
Não converge absolutamente (a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} diverge, comparação com a série harmônica).

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