Determine se a série converge ou diverge e indique o teste usado. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge e indicar o teste usado. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{termos: } a_n=\frac{(-1)^{n}}{n+1}.
O que precisamos decidir:
Se a série converge (e por qual teste).
Se converge absolutamente ou somente condicionalmente.
Passo 2
Observação sobre a forma da série: os sinais alternam por causa do fator (-1)^{n}. Para séries com sinais alternados é natural considerar o Critério de Leibniz (também chamado de Alternating Series Test). Esse teste pede que analisemos a sequência dos módulos dos termos
Essa é a série harmônica a partir de k=2. Sabemos que a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge (por exemplo pelo Teste da Integral ou pelo Critério da Série harmônica padrão), portanto remover o primeiro termo não muda o caráter de divergência; logo \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k} também diverge. Assim a série dos módulos diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.
Passo 7
Conclusão sobre o tipo de convergência: a série converge pelo Critério de Leibniz, mas a série dos módulos diverge, então a convergência é condicional (convergência, mas não absoluta).
Passo 8
Comentário útil para prova (opcional, mas bom saber): pelo Critério de Leibniz temos também um controle do erro ao aproximar a soma por uma soma parcial. Se S é a soma da série e S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^n}{n+1}, então o resto R_N=S-S_N satisfaz
|R_N|\le b_{N+1}=\frac{1}{N+2}.
Isso permite estimar quão grande deve ser N para obter uma aproximação com determinada precisão.
Resposta
A série converge condicionalmente (convergência por Critério de Leibniz / Alternating Series Test).
Não converge absolutamente (a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} diverge, comparação com a série harmônica).