Determine o raio e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}(x-2)^{n}}{7^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}(x-2)^{n}}{7^{n}}.
Informações importantes fornecidas:
  • A série é uma série de potências centrada em 2 (porque aparece (x-2)^n).
  • Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{7^{n}}.
  • Precisamos achar o raio R e então verificar a convergência nos pontos extremos do intervalo (2-R,\,2+R).

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): usar o teste da raiz para séries de potências. Vou explicar a ideia principal de forma simples e prática para a prova.
Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n vale a propriedade
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n (x-c)^n|} = |x-c|\cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Pelo teste da raiz, a série converge se esse limite for menor que 1. Logo a condição de convergência é
|x-c| \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} < 1.
Isto implica que o raio de convergência R é dado por
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Essa é uma fórmula padrão que nasce diretamente do teste da raiz. Em linguagem simples: calcule a raiz-nésima dos coeficientes a_n, veja o limite superior; o inverso desse valor é o raio.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos nossos coeficientes a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{7^{n}}.
Calculemos \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. Temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{\sqrt{n}}{7^{n}}}=\frac{n^{1/(2n)}}{7}.
Agora avaliamo o limite de n^{1/(2n)}. Use a transformação com logaritmo:
\ln\big(n^{1/(2n)}\big)=\frac{\ln n}{2n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
portanto
n^{1/(2n)}\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{0}=1.
Assim
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{7}.

Passo 4

Com isso o raio de convergência é
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{7}}=7.
Interpretando no eixo real: a série converge (ao menos) para todos x tais que
|x-2|<7,
isto é no intervalo aberto (2-7,\,2+7)=(-5,\,9). Agora precisamos verificar a convergência nos extremos x=-5 e x=9.

Passo 5

Teste do extremo x=-5.
Calcule os termos da série em x=-5:
\frac{\sqrt{n}((-5)-2)^{n}}{7^{n}}=\frac{\sqrt{n}(-7)^{n}}{7^{n}}=\sqrt{n}\,(-1)^{n}.
Para que uma série \sum b_n converja é necessário que b_n\to 0. Aqui o termo geral tem módulo |\sqrt{n}(-1)^{n}|=\sqrt{n}, que diverge para +\infty. Como os termos não tendem a zero, a série em x=-5 diverge imediatamente. (Mesmo sendo alternada, o teste de Leibniz exige que os termos em módulo tendam a zero, o que não ocorre.)

Passo 6

Teste do extremo x=9.
Calcule os termos em x=9:
\frac{\sqrt{n}((9)-2)^{n}}{7^{n}}=\frac{\sqrt{n}\,7^{n}}{7^{n}}=\sqrt{n}.
Novamente o termo geral não tende a zero ( \sqrt{n}\to\infty), logo a série em x=9 também diverge.

Passo 7

Conclusão final: o raio de convergência é 7 e o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-5,9), sem inclusão dos extremos porque em ambos pontos a série diverge pelo teste do termo geral.

Resposta

R=7
(-5,9)

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