A série é uma série de potências centrada em 2 (porque aparece (x-2)^n).
Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{7^{n}}.
Precisamos achar o raio R e então verificar a convergência nos pontos extremos do intervalo (2-R,\,2+R).
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): usar o teste da raiz para séries de potências. Vou explicar a ideia principal de forma simples e prática para a prova.
Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n vale a propriedade
Isto implica que o raio de convergência R é dado por
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Essa é uma fórmula padrão que nasce diretamente do teste da raiz. Em linguagem simples: calcule a raiz-nésima dos coeficientes a_n, veja o limite superior; o inverso desse valor é o raio.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos nossos coeficientes a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{7^{n}}.
Para que uma série \sum b_n converja é necessário que b_n\to 0. Aqui o termo geral tem módulo |\sqrt{n}(-1)^{n}|=\sqrt{n}, que diverge para +\infty. Como os termos não tendem a zero, a série em x=-5 diverge imediatamente. (Mesmo sendo alternada, o teste de Leibniz exige que os termos em módulo tendam a zero, o que não ocorre.)
Novamente o termo geral não tende a zero (\sqrt{n}\to\infty), logo a série em x=9 também diverge.
Passo 7
Conclusão final: o raio de convergência é 7 e o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-5,9), sem inclusão dos extremos porque em ambos pontos a série diverge pelo teste do termo geral.